2 mal Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{1}{2})^n}{1-\bruch{n+1}{2n-1}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2} [/mm] |
Bei der ersten Teilaufgabe habe ich Z#hler und Nenner erstmal getrennt behandelt:
Zähler:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1-(\bruch{1}{2})^n
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{1}{2^n}=1-0=1
[/mm]
Nenner:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{n+1}{2n-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1-n-1}{2n-1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-\bruch{2}{n}}{2-\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1-0}{2-0}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{1}{2})^n}{1-\bruch{n+1}{2n-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-(\bruch{1}{2})^n\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{n+1}{2n-1}\right)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\bruch{1}{2}}=2
[/mm]
Zur zweiten Teilaufgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}
[/mm]
[mm] =0*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}
[/mm]
=0
Bei der 1ten Teilaufgabe bin ich mir mit der Nullfolge beim Zähler unsicher ob ich das einfach so schreiben kann.
Bei der 2ten Teilaufgabe bin ich mir nicht sicher ob das wirklich so einfach sein soll?
Danke fürs drüberschauen.
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{1}{2})^n}{1-\bruch{n+1}{2n-1}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}[/mm]
> Bei der ersten Teilaufgabe habe ich Z#hler und Nenner
> erstmal getrennt behandelt:
> Zähler:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1-(\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{1}{2^n}=1-0=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nenner:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1-\bruch{n+1}{2n-1}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1-n-1}{2n-1}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-\bruch{2}{n}}{2-\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1-0}{2-0}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1-(\bruch{1}{2})^n}{1-\bruch{n+1}{2n-1}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-(\bruch{1}{2})^n\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{n+1}{2n-1}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\bruch{1}{2}}=2[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
>
> Zur zweiten Teilaufgabe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}[/mm]
Das musst du begründen, diese Umformung darfst du nur machen, wenn die beiden Teillimites auch existieren ...
Das musst du begründen!
> [mm]=0*\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2}[/mm]
Hmm, was, wenn der zweite Bruch gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert?
Dann hättest du [mm] $0\cdot{}\infty$
[/mm]
Das ist unbestimmt, da kann man nix drüber sagen ...
> =0
>
> Bei der 1ten Teilaufgabe bin ich mir mit der Nullfolge beim
> Zähler unsicher ob ich das einfach so schreiben kann.
kann man, du hast doch schön begründet, dass alle Teilfolgen, in die du deine Ausgangsfolge zerlegt hast, konvergent sind
> Bei der 2ten Teilaufgabe bin ich mir nicht sicher ob das
> wirklich so einfach sein soll?
Jein, es fehlt zumindest eine Begründung für den angesprochenen Schritt
Multipliziere doch mal Zähler und Nenner aus, dann hebt sich einiges weg.
Dieser verbleibende Teil konvergiert aber nicht gegen 0
Damit wärest du auf der sicheren Seite
>
> Danke fürs drüberschauen.
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay habe es jetzt durch ausmultiplizieren gelöst:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{(2n+1)^3-8n^3}{(2n+3)^2-4n^2} [/mm] $
=$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{8n^3+12n^2+6n+1-8n^3}{4n^2+12n+9+4n^2} [/mm] $
=$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{8n^3+12n^2+6n+1-8n^3}{4n^2+12n+9+4n^2} [/mm] $
=$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+6n+1}{12n^2+9n} [/mm] $
=$ [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}12n^2+6n+1}{\limes_{n\rightarrow\infty}12n^2+9n} [/mm] $
=$ [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}12+\bruch{6}{n}+\bruch{1}{n^2}}{\limes_{n\rightarrow\infty}12+\bruch{9}{n}} [/mm] $
=$ [mm] \bruch{12+0+0}{12+0} [/mm] = 1$
Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 25.08.2008 | | Autor: | tedd |
Yeah
Danke nochmal!
Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
die erste Teilaufgabe eigentlich ok
denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a^n=0 [/mm] falls |a|<1
die zweite Teilaufgabe aber nicht.
du musst zeigen dass der zweite Term sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist. dann ist es richtig.
denn
sei [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Folgen, so dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] und
[mm] |b_{n}|
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}b_{n})=0
[/mm]
dies kannst du mit der Einschließungsregel beweisen
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