2 Vektorprobleme < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 27.06.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!!!
Frage 1:
Ich habe ein Dreieck ABC mit den Vektoren [mm] \vec{a}; \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}. [/mm] Was sagt dann der Term
[mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})|
[/mm]
aus?!?
Frage 2:
Ich habe z.B. gegeben:
[mm] \vec{a}= \vektor{2\\ 1\\-3} \vec{b}=\vektor{-4\\ -2\\6} [/mm] --> die bestimmen ein Parallelogramm, von welchem ich den Flächeninhalt berechnen soll.
Außerdem habe ich gegeben: P(4;-2;3) --> Wozu brauche ich diesen Punkt????
Danke Zlata
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Hi, Zlata,
merke: Fragen lieber einzeln posten! Dann werden sie schneller beantwortet, weil mehrere "Experten" zugleich dran arbeiten können!
Hier nun "Experte Zwerglein" für die erste:
> Frage 1:
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> Ich habe ein Dreieck ABC mit den Vektoren [mm]\vec{a}; \vec{b}[/mm]
> und [mm]\vec{c}.[/mm] Was sagt dann der Term
>
> [mm]|(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})|[/mm]
>
> aus?!?
>
(1) Also: Betrag des Kreuzprodukts: Das ergibt die Maßzahl eines Flächeninhalts! (Ich sag' mal vereinfacht: "Flächeninhalt"!)
[mm] |\vec{a} \times \vec{b}| [/mm] ist der doppelte Flächeninhalt Deines Dreiecks bzw. der Inhalt des Parallelogramms, das von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannt wird.
(2) Auch [mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})| [/mm] ist also ein Flächeninhalt. Aber von was? Bzw. wie groß ist er?
Nun: Du kannst es
- zeichnerisch oder
- rechnerisch
angehen.
Ich geb' Dir mal Hinweise für den rechnerischen Weg:
(3) Du musst das Produkt Stück für Stück ausmultiplizieren:
[mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})|
[/mm]
= [mm] |\vec{a}\times\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{b}\times\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}\times\vec{b}|
[/mm]
(4) Beim Vereinfachen musst Du nun die GESETZE DES VEKTORPRODUKTs beachten, vor allem:
[mm] \vec{a}\times\vec{a} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] für jeden Vektor des [mm] \IR^{3}
[/mm]
und
[mm] \vec{b}\times\vec{a} [/mm] = [mm] -\vec{a}\times\vec{b}
[/mm]
(5) Am Ende wirst Du erhalten:
Der gesuchte Ausdruck ist doppelt so groß wie [mm] |\vec{a} \times \vec{b}|,
[/mm]
also der 4-fache Flächeninhalt des ursprünglich gegebenen Dreiecks.
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