2 Punkte finden < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Koordinaten der vier Punkte A, B, C und D sowie die Winkel Alpha, Beta, Gamma und Delta, unter denen die gesuchten Punkte R und S zu sehen sind (siehe Skizze).
A ( 0 / 0 ) Alpha: 54.7°
B ( 5 / 10 ) Beta: 120.6°
C ( 22 / 3 ) Gamma: 19.1°
D ( 10 / 2 ) Delta: 81.4°
Frage: Wie lauten die Koordinaten von R und S ?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
In der Praxis gibt es bestimmt eine Lösung hierzu.
Aber wie sieht die Theorie hierzu aus ???
Das Umgekehrte wäre recht einfach:
Wenn man R und S bereits kennt, kann man die Winkel ermitteln, unter dem man von A, B, C und D aus die beiden Punkte R und S sieht.
So aber habe ich keinen Ansatz, denn es gibt für jeden der Punkte A, B, C und D unzählige Möglichkeiten.
Außerdem bin ich misstrauisch:
Genügen die Angaben für eine eindeutige Lösung?
Gibt es gar Widersprüche und somit gar keine Lösung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo rabilein,
zumindest mit der Anzahl der gegebenen Grössen (4 Winkel)
und der Anzahl der gesuchten Grössen (je 2 Koordinaten für
R und S) könnte es passen. Damit bei den Winkeln keine Fehl-
interpretationen entstehen können, wäre z.B. die Voraus-
setzung, dass R und S tatsächlich etwa so angeordnet sind
wie in der Figur und grössere y-Koordinaten als die Punkte
A,B,C,D haben, möglicherweise noch bedeutsam.
Ob es zu bestimmten vorgegebenen Koordinaten der 4
gegebenen Punkte und zu bestimmten vorgegebenen
Winkelwerten auch tatsächlich Lösungen - und allenfalls
eindeutige - gibt, liesse sich wohl nur durch die (mög-
licherweise mühsame) Untersuchung des entstehenden
Gleichungssystems entscheiden. Diese Arbeit in Angriff
zu nehmen, scheint mir an diesem Osterabend doch nicht
allzu verlockend.
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Mo 13.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Anfangs dachte ich, drei Punkte könnten ausreichen.
Aber das erscheint mir nun unwahrscheinlich. Und zwar aus folgendem Grund:
Ich lege die blaue Linie von A willkürlich fest (zum Beispiel: waagerecht). Dann dürfte es eigentlich keine Lösung mehr geben.
Nun drehe ich den angegebenen Winkel um B Stück für Stück um 360° (in Schritten von je 1°). Dann erhalte ich jedes Mal neue Punkte R und S.
Frage: Welchen Winkel Gamma erhalte ich jedes Mal?
Nun: Irgendwann wird der Winkel Gamma genau so groß sein wie gefordert (hier: 19.1°)
Und das, obwohl ich die blaue Linie von A willkürlich festgesetzt hatte.
Ergo muss noch mindestens ein vierter Punkt her !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Mo 13.04.2009 | | Autor: | weduwe |
man erhält z.b. über das skalarprodukt 4 gleichungen für die 4 unbekannten koordinaten von R und S.
ob´s da mehr als 1 lösung gibt?
ich vermute, noch einige mehr 
eine kann ich anbieten
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Mo 13.04.2009 | | Autor: | weduwe |
und noch eine
gute nacht
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mo 13.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
R (3/15) und S (18/8) - genau das sollte raus kommen.
Diese beiden Punkte hatte ich mir ausgedacht und dann hinterher die Sache mit A, B, C, D und den Winkeln dazu konstruiert.
Was ich allerdings höchst erstaunlich finde, ist Folgendes:
1.) Dass es dir gelungen ist, daraus ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten aufzustellen und dieses so schnell zu lösen.
Ich hätte gewettet (soll man ja nicht), dass mindestens 4 Professoren mit je 20 Studenten nötig wären, um die obigen Koordinaten zu finden.
2.) Dass es mehr als nur eine einzige Lösung gibt.
Angekommen, es darf nur eine einzige Lösung geben: Die Koordinaten RX, RY, SX und SY. Da wären mindestens fünf Punkte mit dazugehörigen Winkeln erforderlich.
Also hätte man dann mindestens 5 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Frage: Warum braucht man mehr Gleichungen als Unbekannte ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 13.04.2009 | | Autor: | weduwe |
> R (3/15) und S (18/8) - genau das sollte raus kommen.
> Diese beiden Punkte hatte ich mir ausgedacht und dann
> hinterher die Sache mit A, B, C, D und den Winkeln dazu
> konstruiert.
>
>
> Was ich allerdings höchst erstaunlich finde, ist
> Folgendes:
>
> 1.) Dass es dir gelungen ist, daraus ein Gleichungssystem
> mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten aufzustellen und dieses
> so schnell zu lösen.
> Ich hätte gewettet (soll man ja nicht), dass mindestens 4
> Professoren mit je 20 Studenten nötig wären, um die obigen
> Koordinaten zu finden.
>
> 2.) Dass es mehr als nur eine einzige Lösung gibt.
> Angekommen, es darf nur eine einzige Lösung geben: Die
> Koordinaten RX, RY, SX und SY. Da wären mindestens fünf
> Punkte mit dazugehörigen Winkeln erforderlich.
> Also hätte man dann mindestens 5 Gleichungen mit 4
> Unbekannten.
>
> Frage: Warum braucht man mehr Gleichungen als Unbekannte ?
>
das ist halt so eine sache, wenn nur winkel gegeben sind.
ob man mit einem 5. punkt ans ziel kommt, da habe ich meine zweifel,
da wird das system eher unlösbar, wäre meine vermutung.
lies dir dazu den beitrag von Al Chwarizmi durch.
das von mir angegebne system führt auf äußerst miese gleichungen so um grad > 4. das habe ich natürlich numrisch gelöst - in Excel mit dem solver, da mir weder professur noch studenten zur verfügung stehen
ich war selbst erstaunt, dass das system damit so leicht zu lösen ist.
war halt so eine osternachtidee.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 14.04.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> das habe ich natürlich numrisch gelöst - in Excel mit dem solver
Danke für den Hinweis, wie du das Gleichungs-System gelöst hast.
Ohne dieses technische Hilfsmittel wäre also doch - wie ich befürchtet hatte - eine Hundertschaft an Leuten erforderlich gewesen, um die Punkte R und S zu finden.
Eine weitere Lösungsmöglichkeit bestände eines Erachtens darin, die vier Winkel um die Punkte A, B, C, D mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten - ähnlich den Zeigern einer Uhr - so lange im Kreis drehen zu lassen, bis irgendwann alle "Zeiger" auf die Punkte R und S gerichtet sind.
|
|
|
|
