2) Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo,
schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im voraus...
2.) Sei F: $ [mm] IR^4 [/mm] $ -> $ [mm] IR^3 [/mm] $ die lin. Abb. F(x)=Ax mit
A= $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 0 & -2} [/mm] $
Bestimme die Dim des kerns und des Bildes von F. ist F inj? surj.?
LÖSUNG:
Als erstes Matrix für den Kern Null setzten:
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0I0 \\ 2 & 3 & 1 & -1I0 \\ 2 & 4 & 0 & -2I0} [/mm] $
Durch elem. ZU komme ich zu:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 1I0 \\ 0 & 1 & -1 & -1I0 \\ 0 & 0 & 0 & 0I0} [/mm] $
Wenn wir nun die Parameterdarstekllung geben sollten, hätten wir 2 Vektoren mit jew. Skalaren, also
dim KernF =2
(über Dimsesionsforemel) folgt nun:
dim Bild F=2(4-2)
Also ist die Abb. nicht injektiv, da nicht nur die Null auf die Null abbildet
und auch nicht surjektiv, $ [mm] daF:IR^4->IR^3 [/mm] $ und das Bild aber nur dim 2 hat!
Sind die Begründungen so korrekt und ist das richtig gefolgert??!!(diese stelle ist mir ganz besonders wichtig! Gibt es eigentlich noch irendwelche besonderen Tricks, wie man surj. und inj. bestimmt - irgendwelche Sonnderfälle die man kennen sollte?)
So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im voaraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestell
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> Hallo,
> schreibe morgen meine Lina- Klasur und habe gestern
> nocheinmal eine klausur zur Übung der letzten Jahre
> gerechnet. Bei einigen Aufgaben bin ich mir aber nicht ganz
> sicher und wollte überprüfen lassen, ob die soweit
> richtig sind - ansonsten würde ich ja die gleichen Fehler
> in der klausur machen. Außerdem komme ich bei der einen
> Aufgabe nicht so richtig Ahnung - könnte mir dazu bitte
> jemand mein Fragen erklären!!?? - Vielen Dank im
> voraus...
>
>
> 2.) Sei F: [mm]IR^4[/mm] -> [mm]IR^3[/mm] die lin. Abb. F(x)=Ax mit
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 0 & -2}[/mm]
>
> Bestimme die Dim des kerns und des Bildes von F. ist F inj?
> surj.?
>
> LÖSUNG:
> Als erstes Matrix für den Kern Null setzten:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0I0 \\ 2 & 3 & 1 & -1I0 \\ 2 & 4 & 0 & -2I0}[/mm]
>
> Durch elem. ZU komme ich zu:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 1I0 \\ 0 & 1 & -1 & -1I0 \\ 0 & 0 & 0 & 0I0}[/mm]
Hallo,
richtig.
>
> Wenn wir nun die Parameterdarstekllung geben sollten,
> hätten wir 2 Vektoren mit jew. Skalaren, also
> dim KernF =2
> (über Dimsesionsforemel) folgt nun:
> dim Bild F=2(4-2)
Die Begründung ist nichts.
Argumentiere mit dem Rang:
Die Matrix hat den Rang 2, also ist die Dim des Bildes =2.
Mit der Dimensionsformel erhält man: dim Kern =2.
>
> Also ist die Abb. nicht injektiv, da nicht nur die Null auf
> die Null abbildet
Ja.
Injektiv <==> dim Kern=0.
> und auch nicht surjektiv, [mm]daF:IR^4->IR^3[/mm] und das Bild aber
> nur dim 2 hat!
Ja. Wenn sie surjektiv wäre, müßte die Dimension des Bildes =3 sein.
> Sind die Begründungen so korrekt und ist das richtig
> gefolgert??!!(diese stelle ist mir ganz besonders wichtig!
> Gibt es eigentlich noch irendwelche besonderen Tricks, wie
> man surj. und inj. bestimmt - irgendwelche Sonnderfälle
> die man kennen sollte?)
Wie gesagt: injektiv <==> dim Kern=0
surjektiv: dim des Bildes = Dimension des Zielraumes
Bei quadratischen Matrizen sind inj., surj. und bijektiv äquivalent. (voller Rang, invertierbar)
Achso: eine Abbildung aus einem "kleinen" in einen "großen" Raum kann nicht surjektiv sein, und eine aus einem "großen" in einen "kleinen" nicht injektiv.
Gruß v. Angela
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> So das wars ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vilen Dank im
> voaraus.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestell
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mo 22.03.2010 | | Autor: | LariC |
Supi - das habe ich dann kapiert und ja auch garnicht so falsch gemacht. Der Tipp am Ende ist klasse - obwohl er ja eigentlich echt logisch ist, aber er erleichtert das Denken...dankeschön
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