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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 19.07.2017 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | 1 Gerade welche durch den Vektor [mm] x_1 [/mm] gegeben ist verläuft durch den gegebenen Punkt [mm] p_1, [/mm] die andere Gerade welche durch den Vektor [mm] x_2 [/mm] gegeben ist verläuft durch den Punkt [mm] P_2.
[/mm]
Die beiden beiden Geraden haben die jeweiligen Stützpunkte [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] nicht gemeinsam.
Die Vektoren schneiden sich in einem Punkt welcher auf der Ebene E liegt.
Die Richtungsvektoren der beiden Vektoren sollen jeweils zur Ebenennormalen den gleichen Winkel besitzen.
Die Normale der Ebene sowie dessen Stützpunkt [mm] p_3 [/mm] sind bekannt.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Habe versucht das ganze in der angehängten Skizze zu veranschaulichen...
Mit folgenden Gleichungen habe ich angefangen:
[mm] \vec{x_1}=\vec{p_1}+s_{1}*\vec{u_1}
[/mm]
[mm] \vec{x_2}=\vec{p_2}+s_{2}*\vec{u_2}
[/mm]
Außerdem sollen die Winkel zwischen den Richtungsvektoren und der Ebenennormalen gleich sein:
[mm] \cos{\alpha}=\cos{\beta}=\frac{\vec{u_1}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_1}\cdot\vec{n}|}=\frac{\vec{u_2}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_2}\cdot\vec{n}|}
[/mm]
Hier habe ich angenommen, dass ich mit |n| multiplizieren kann und folgendes erhalte:
[mm] \frac{\vec{u_1}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_1}|}=\frac{\vec{u_2}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_2}|} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \vec{u_1}\cdot\vec{n}=\frac{\vec{u_2}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_2}|}*|\vec{u_1}|
[/mm]
Das mit dem Winkel sollte eigentlich das gleiche wie eine 180°-Rotation um die Ebenennormale sein...
Weis aber nicht genau ob man das wirklich braucht/verwenden kann...
[mm] u_2=R_n(180°)*u_1
[/mm]
Die Ebene hat die folgende Gleichung in Normalform:
[mm] 0=(\vec{x_3}-\vec{p_3})*\vec{n}
[/mm]
Außerdem sollte meiner Meinung nach!? gelten:
[mm] x_1=x_2=x_3
[/mm]
Damit hat man auch
[mm] 0=(\vec{x_3}-\vec{p_3})*\vec{n}=(\vec{x_2}-\vec{p_3})*\vec{n}=(\vec{x_1}-\vec{p_3})*\vec{n}
[/mm]
setzt man dann zum Bsp [mm] x_1 [/mm] ein:
[mm] 0=(\vec{x_1}-\vec{p_3})*\vec{n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 0=(\vec{p_1}+s_{1}*\vec{u_1}-\vec{p_3})*\vec{n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 0=\vec{p_1}*\vec{n}+s_{1}*\vec{u_1}*\vec{n}-\vec{p_3}*\vec{n}
[/mm]
Dort könnte man jetzt die Beziehung [mm] \vec{u_1}\cdot\vec{n}=\frac{\vec{u_2}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_2}|}*\vec{u_1} [/mm] von oben einsetzen
[mm] 0=\vec{p_1}*\vec{n}+s_{1}*\frac{\vec{u_2}\cdot\vec{n}}{|\vec{u_2}|}*|\vec{u_1}|-\vec{p_3}*\vec{n}
[/mm]
Aber ehrlich gesagt sehe ich nicht so richtig ob mir das weiter hilft und wie man nun voran kommt :(
Es fehlen nämlich noch immer einige Unbekannte...
Deshalb bin ich für eure Hilfe sehr dankbar.
Besten Gruß
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 19.07.2017 | | Autor: | chrisno |
Was soll gezeigt werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 19.07.2017 | | Autor: | tedd |
Hi chrisno.
Ich hoffe die Erläuterung hilft weiter:
Das es eine Gerade [mm] x_1 [/mm] gibt, die durch den bekannten Punkt [mm] p_1 [/mm] läuft und einen Gerade [mm] x_2 [/mm] gibt, die durch den bekannten Punkt [mm] p_2 [/mm] läuft.
Die beiden Geraden sollen jeweils zur Normalen einer Ebene, dessen Normale und dessen Stützpunkt bekannt sind, den Gleichen Winkel einschließen und ihr Schnittpunkt soll auf der Ebene liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 20.07.2017 | | Autor: | tedd |
Neue Idee...
Ich beschreibe die Strecke [mm] \overline{p_1x_3} [/mm] von Punkt [mm] p_1 [/mm] zu dem unbekannten Punkt [mm] x_3 [/mm] auf der Ebene:
[mm] \overline{p_1x_3}=\vec{x_3}-\vec{p_1}
[/mm]
Ebenso haben wir die Strecke von [mm] p_2:
[/mm]
[mm] \overline{p_2x_3}=\vec{x_3}-\vec{p_2}
[/mm]
Die Parameterform von der Ebene lautet:
[mm] \vec{x_3}=\vec{p_3}+s*\vec{u}+t*\vec{v}
[/mm]
mit
[mm] \vec{u}=\vektor{-n_2 \\ n_1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{v}=\vektor{0 \\ -n_3 \\ n_2}
[/mm]
Außerdem soll das Skalarprodukt der beiden Strecken gleich dem doppelten des Skalarproduktes einer Strecke zum normalvektor der Ebene sein:
[mm] \overline{p_1x_3}\cdot(\vec{x_3}-\vec{p_2}=2*\overline{p_1x_3}*\vec{n}=2*\overline{p_2x_3}*\vec{n}
[/mm]
bzw.
[mm] (\vec{x_3}-\vec{p_1})\cdot(\vec{x_3}-\vec{p_2})=2*(\vec{x_3}-\vec{p_1})*\vec{n}=2*(\vec{x_3}-\vec{p_2})*\vec{n}
[/mm]
Daraus erhalte ich:
[mm] \vec{x_3}^2-\vec{x_3}*\vec{p_2}-\vec{x_3}*\vec{p_1}+\vec{p_1}*\vec{p_2}=2*\vec{x_3}*\vec{n}-2*\vec{p_1}*\vec{n}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \vec{x_3}^2-\vec{x_3}*\vec{p_2}-\vec{x_3}*\vec{p_1}+\vec{p_1}*\vec{p_2}-2*\vec{x_3}*\vec{n}+2*\vec{p_1}*\vec{n}=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \vec{x_3}^2-\vec{x_3}*(\vec{p_1}+\vec{p_2}+2*\vec{n})+\vec{p_1}*\vec{p_2}+2*\vec{p_1}*\vec{n}=0
[/mm]
Normalerweise würde ich sagen, dass macht man jetzt über einen Lösungsansatz für quadratische Gleichungen aber funktioniert das mit Vektoren?
[mm] \vec{x_3_{,1/2}}=\frac{1}{2}*(\vec{p_1}+\vec{p_2}+2*\vec{n})\pm\sqrt{\frac{(\vec{p_1}+\vec{p_2}+2*\vec{n})^2}{4}-(\vec{p_1}*\vec{p_2}+2*\vec{p_1}*\vec{n})}
[/mm]
Aber unter der Wurzel steht ja dann ein Skalar und links ein Vektor und rauskommen soll auch ein Vektor... Hmmmmm was nun?
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Ohne auf deine Rechnung genauer einzugehen:
Wenn du von [mm] P_1 [/mm] über die Wand zu [mm] P_2 [/mm] gehst und beide Winkel zwischen den Geraden und der Normalen gleich groß sind, gibt es hierfür unendlich viele Möglichkeiten.
Beispiel: Stell dich frontal vor einen Wandspiegel und schau dir in die Augen. Den Punkt auf dem Spiegel in der Mitte zwischen deinem rechten Auge und seinem Spiegelbild nenne ich L. Betrachte die Gerade von deinem rechten Fuß zu L. Lass sie am Spiegel reflektieren. Sie geht über deinem Kopf durch einen Punkt P, der doppelt so hoch wie dein Auge ist. Der Winkel Fuß-L-Auge ist genau so groß wie der Winkel Auge-L-P.
Nun markierst du auf dem Spiegel 30 cm rechts neben L einen Punkt S. Ziehe eine Gerade vom Fuß zu S und eine andere von P zu S. Zwar reflektiert der Spiegel nun den einen Weg nicht in den anderen, aber der Winkel Fuß-S-(Normale in S) ist genau so groß wie der Winkel (Normale in S)-S-P.
Die gesamte waagerechte Gerade durch L auf dem Spiegel wäre eine Lösung deines Problems.
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Seien [mm] \vec{p_1} [/mm] und [mm] \vec{p_2} [/mm] die Ortsvektoren der Punkte [mm] P_1 [/mm] bzw. [mm]P_2, [/mm] [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor und [mm] \vec{a} [/mm] der Stützvektor der Ebene.
Idee: Einer der beiden Punkte, sagen wir [mm] P_1, [/mm] wird an der Ebene gespiegelt (auf die andere Seite auf sein Spiegelbild Q mit dem Ortsvektor [mm] \vec{q}). [/mm] Dann schneidet nach den Gesetzen der Optik die Verbindungsgerade [mm] QP_2 [/mm] die Ebene (den Spiegel) im gesuchten Reflexionspunkt.
1. Schritt: [mm] d=\bruch{(\vec{p_1}-\vec{a})*\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] ist der Abstand von [mm] P_1 [/mm] zur Ebene.
2. Schritt: Wir gehen von [mm] P_1 [/mm] um diese Länge in Richtung [mm] -\vec{n} [/mm] bis zu Ebene (Lotfußpunkt) und noch mal so weit über die Ebene hinaus zu Q. Die Entfernung zur Ebene ist aber nicht [mm] d*|\vec{n}|, [/mm] wir müssen [mm] \vec{n} [/mm] noch auf die Länge 1 kürzen. Wir landen dann bei Q mit
[mm] \vec{q}= \vec{p_1}-2*d*\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}.
[/mm]
Achtung: Du darfst den Vektor [mm] \vec{n} [/mm] am Ende dieser Gleichung NICHT mit dem von d verrechnen! Die Produkte sind nicht assoziativ. d ist eine Zahl(!), die aus dem Produkt der Klammer und [mm] \vec{n} [/mm] entsteht. Das wird dann in der letzten Rechnung mit [mm] \vec{n}/|\vec{n}| [/mm] multipliziert und gibt einen Vektor in [mm] \vec{n}-Richtung. [/mm] Würdest du die beiden [mm] \vec{n}s [/mm] multiplizieren, bliebe die Klammer übrig und gäbe einen Vektor in Richtung des Klammerausdrucks)!
Also: Im Allgemeinen ist [mm] (\vec{a}*\vec{b})\vec{c}\ne \vec{a}*(\vec{b}*\vec{c}).
[/mm]
3. Schritt: Nun stellen wir die Gleichung der Geraden durch Q und [mm] P_2 [/mm] auf, setzen sie in die Ebenengleichung ein und erhalten den Reflexionspunkt am Spiegel.
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Präzisierung der Lösung
> Seien [mm]\vec{p_1}[/mm] und [mm]\vec{p_2}[/mm] die Ortsvektoren der Punkte
> [mm]P_1[/mm] bzw. [mm]P_2,[/mm] [mm]\vec{n}[/mm] der Normalenvektor und [mm]\vec{a}[/mm] der
> Stützvektor der Ebene.
>
> Idee: Einer der beiden Punkte, sagen wir [mm]P_1,[/mm] wird an der
> Ebene gespiegelt (auf die andere Seite auf sein Spiegelbild
> Q mit dem Ortsvektor [mm]\vec{q}).[/mm] Dann schneidet nach den
> Gesetzen der Optik die Verbindungsgerade [mm]QP_2[/mm] die Ebene
> (den Spiegel) im gesuchten Reflexionspunkt.
>
> 1. Schritt:
> [mm]d=\bruch{(\vec{p_1}-\vec{a})*\vec{n}}{|\vec{n}|}[/mm] ist der
> Abstand von [mm]P_1[/mm] zur Ebene.
>
> 2. Schritt: Wir gehen von [mm]P_1[/mm] um diese Länge in Richtung
> [mm]-\vec{n}[/mm] bis zu Ebene (Lotfußpunkt) und noch mal so weit
> über die Ebene hinaus zu Q. Die Entfernung zur Ebene ist
> aber nicht [mm]d*|\vec{n}|,[/mm] wir müssen [mm]\vec{n}[/mm] noch auf die
> Länge 1 kürzen. Wir landen dann bei Q mit
>
> [mm]\vec{q}= \vec{p_1}-2*d*\bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}.[/mm]
>
Ich führe zur einfacheren Darstellung folgende Abkürzungen ein:
[mm] s=(\vec{p_1}-\vec{a})*\vec{n} n=|\vec{n}|
[/mm]
[mm] t=(\vec{p_2}-\vec{a})*\vec{n}
[/mm]
Damit wird [mm] \vec{q}= \vec{p_1}-2*s*\bruch{\vec{n}}{n^2}.
[/mm]
3. Schritt: Die Gerade g soll nun durch [mm] P_2 [/mm] und Q führen:
g: [mm] \vec{x}= \vec{p_2}+k*( \vec{q}- \vec{p_2})=\vec{p_2}+k*(\vec{p_1}-2*s*\bruch{\vec{n}}{n^2}-\vec{p_2}).
[/mm]
Um den Schnittpunkt von g mit der Ebene zu bestimmen, setzen wir [mm] \vec{x} [/mm] in die Ebenengleichung ( [mm] \vec{x}- \vec{a})* \vec{n}=0 [/mm] ein. Dabei fügen wir [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] -\vec{a} [/mm] ein :
[mm] (\vec{p_2}+k*(\vec{p_1}-\vec{a}-2*s*\bruch{\vec{n}}{n^2}+\vec{a}-\vec{p_2})- \vec{a})* \vec{n}
[/mm]
[mm] =(\vec{p_2}- \vec{a})* \vec{n}+k*(\vec{p_1}-\vec{a})*\vec{n}-k*(\vec{p_2}-\vec{a})*\vec{n}-2*k*s*\bruch{\vec{n}}{n^2}*\vec{n}
[/mm]
=t+k*s-k*t-2*k*s=t-ks-kt=0
[mm] \Rightarrow k=\bruch{t}{s+t}
[/mm]
In [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt erhält man:
[mm] \vec{x}=\vec{p_2}+\bruch{t}{s+t}*(\vec{p_1}-2*s*\bruch{\vec{n}}{n^2}-\vec{p_2})=\bruch{1}{s+t}(s\vec{p_2}+t\vec{p_2}+t\vec{p_1}-2*s*t\bruch{\vec{n}}{n^2}-t\vec{p_2})
[/mm]
[mm] \vec{x}=\bruch{1}{s+t}(s\vec{p_2}+t\vec{p_1}-2*s*t\bruch{\vec{n}}{n^2})
[/mm]
Das ist die Endformel. Der Ortsvektor [mm] \vec{x} [/mm] führt auf den Spiegelpunkt in der Ebene E, über den ein Lichtstrahl von [mm] P_1 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] reflektiert wird.
Beispiel: Ebene E: x+y=4 [mm] P_1(4|4|4), P_2(12|4|-4) [/mm] A(0|4|1)
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 1 \\0}
[/mm]
[mm] s=(\vec{p_1}-\vec{a})\vec{n}=(\vektor{4\\4\\4}-\vektor{0\\4\\1})\vektor{1\\1\\0}=4
[/mm]
[mm] t=(\vec{p_2}-\vec{a})\vec{n}=(\vektor{12\\4\\-4}-\vektor{0\\4\\1})\vektor{1\\1\\0}=12
[/mm]
[mm] \vec{x}=\bruch{1}{16}(4\vektor{12\\4\\-4}+12\vektor{4\\4\\4}-\bruch{2*4*12}{2}\vektor{1\\1\\0})=\bruch{1}{16}(\vektor{48\\16\\-16}+\vektor{48\\48\\48}-\vektor{48\\48\\0})=\vektor{3\\1\\2}
[/mm]
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