2 Funkt. als Lsg. einer DLG < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 06.12.2015 | | Autor: | pam22 |
| Aufgabe | Es seien folgende Funktionen:
[mm] y_{1}=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}
[/mm]
[mm] y_{2}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ x^{2}, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}
[/mm]
a) Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der Funktionen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2}.
[/mm]
b) Ist es möglich, dass [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] Lösungen der gleichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung sind? |
Hallo,
ich habe hier vor allem mit dem zweiten Teil ein Verständnisproblem.
Aber erstmal zu a):
Laut Definition gilt ja: [mm] \lambda_{1}y_{1}+ \lambda_{2}y_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2} [/mm] linear unabh.
Und: [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2} [/mm] linear abh.
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}x^{2}+ \lambda_{2}0=0 [/mm] für [mm] x\in(-1,0)
[/mm]
[mm] \lambda_{1}x^{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}0+ \lambda_{2}x^{2}=0 [/mm] für [mm] x\in[0,1)
[/mm]
[mm] \lambda_{2}x^{2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{1},y_{2} [/mm] sind linear abhängig
Für b) hab ich leider keinen Ansatz, weil ich nicht wirklich verstehe wonach gefragt ist. Ist die Lösung der Differentialgleichung etwa in der Form [mm] y=y_{1}e^{\lambda_{1}x}+y_{2}e^{\lambda_{2}x}, [/mm] oder liege ich da komplett falsch?
Ich würde mich um Hilfe sehr freuen!!
Vielen Dank im vorraus,
pam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien folgende Funktionen:
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> [mm]y_{1}=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}[/mm]
>
> [mm]y_{2}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ x^{2}, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der
> Funktionen [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}.[/mm]
>
> b) Ist es möglich, dass [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] Lösungen der
> gleichen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung sind?
> Hallo,
>
> ich habe hier vor allem mit dem zweiten Teil ein
> Verständnisproblem.
>
> Aber erstmal zu a):
>
> Laut Definition gilt ja: [mm]\lambda_{1}y_{1}+ \lambda_{2}y_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2}[/mm]
> linear unabh.
> Und: [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}=0 \gdw y_{1},y_{2}[/mm] linear
> abh.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du verwechselst hier etwas ganz böse, und das musst du sofort klar kriegen, bevor es sich falsch einprägt, denn den Begriff der lin. Abhängigkeit/Unabhängigkeit brauchst du andauernd.
Lin. UNabhängig heißt anschaulich, die Dinger haben NICHTS miteinander zu tun (sind unabhängig voneinander), und das heißt: Du kannst keinen mit Hilfe der anderen ausdrücken (als Lin.Komb.). Wäre also [mm] y_1 [/mm] = [mm] k*y_2, [/mm] so wäre [mm] 1*y_1+(-k)*y_2=0. [/mm] Hier wären also [mm] \lambda_1=1 \ne [/mm] 0 und [mm] \lambda_2=-k [/mm] (und dann ja wohl auch [mm] \ne [/mm] 0).
Damit das NICHT geht, sagt man:
[mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind linear UNabhängig! [mm] \gdw
[/mm]
Die Gleichung [mm]\lambda_1*y_1+\lambda_2*y_2=0 [/mm] hat nur die Lösung [mm]\lambda_1= \lambda_2 = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}x^{2}+ \lambda_{2}0=0[/mm] für
> [mm]x\in(-1,0)[/mm]
> [mm]\lambda_{1}x^{2}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm], da x [mm] \ne [/mm] 0
> [mm]\lambda_{1}0+ \lambda_{2}x^{2}=0[/mm] für [mm]x\in[0,1)[/mm]
> [mm]\lambda_{2}x^{2}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=0[/mm], da x [mm] \ne [/mm] 0
>
> [mm]\Rightarrow y_{1},y_{2}[/mm] sind linear UNabhängig
>
> Für b) hab ich leider keinen Ansatz, weil ich nicht
> wirklich verstehe wonach gefragt ist. Ist die Lösung der
> Differentialgleichung etwa in der Form
> [mm]y=y_{1}e^{\lambda_{1}x}+y_{2}e^{\lambda_{2}x},[/mm] oder liege
> ich da komplett falsch?
Nein, du sollst eine Diffgl. mit nur y haben, wobei aber für y zwei verschiedene Lösungen existieren, nämlich [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2.
[/mm]
Evtl. kann folgendes helfen:
[mm] y_1 [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}*(x-\wurzel{x^2})=\bruch{x}{2}*(x-|x|)=\begin{cases} \bruch{x}{2}*(x+x)= x^2, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ \bruch{x}{2}*(x-x)= 0, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}
[/mm]
sowie
[mm] y_1 [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}*(x+\wurzel{x^2})=\bruch{x}{2}*(x+|x|)=\begin{cases} \bruch{x}{2}*(x-x)= 0, & \mbox{für } x\in(-1,0) \\ \bruch{x}{2}*(x+x)= x^2, & \mbox{für } x\in[0,1) \end{cases}.
[/mm]
(Merke: [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = |x| [mm] \ne [/mm] x.)
Nun musst du eine für beide Funktionen gemeinsame Diffgl. 2. Grades finden...
(Es gibt sogar eine 1. Grades - du musst nur [mm] y_1 [/mm] bzw [mm] y_2 [/mm] ableiten und [mm] y_1' [/mm] so mit [mm] y_1 [/mm] bzw [mm] y_2' [/mm] so mit [mm] y_2 [/mm] verknüpfen, dass dabei die beiden Wurzelterme mit den unterschiedlichen Vorzeichen wegfallen. Dann sehen beide Diffgl. gleich aus.)
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> Ich würde mich um Hilfe sehr freuen!!
>
> Vielen Dank im vorraus,
> pam
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 06.12.2015 | | Autor: | pam22 |
Vielen Dank!! Super Ansatz! Und auch danke fuer deine Korrektur.
Ich habs jetzt endlich raus!
Die Differenzialgleichung muesste folgendermassen aufgehen:
[mm] x^{2}y''-xy'=0
[/mm]
Probe:
[mm] y_{1}=\bruch{x}{2}(x-\wurzel{x^{2}})
[/mm]
[mm] y'_{1}=x-\wurzel{x^{2}}
[/mm]
[mm] y''_{1}=1-\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x}
[/mm]
[mm] y_{2}=\bruch{x}{2}(x+\wurzel{x^{2}})
[/mm]
[mm] y'_{2}=x+\wurzel{x^{2}}
[/mm]
[mm] y''_{2}=1+\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x}
[/mm]
Probe mit [mm] y_{1}:
[/mm]
[mm] x^{2}y''_{1}-xy'_{1}=
[/mm]
[mm] =x^{2}(1-\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x})-x(x-\wurzel{x^{2}})=
[/mm]
[mm] =x^{2}-x\wurzel{x^{2}}-x+x\wurzel{x^{2}}
[/mm]
=0
Probe mit [mm] y_{2}:
[/mm]
[mm] x^{2}y''_{2}-xy'_{2}=
[/mm]
[mm] =x^{2}(1+\bruch{\wurzel{x^{2}}}{x})-x(x+\wurzel{x^{2}})=
[/mm]
[mm] =x^{2}+x\wurzel{x^{2}}-x-x\wurzel{x^{2}}
[/mm]
=0
Damit gibt es eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, deren Loesungen [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] sind.
Ich hoffe, so ist alles richtig.
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