2 Fragen zu spez. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hula |
Hallöööööchen
Sei [mm] $\gamma [/mm] < 1$, dann ist meine erste Frage, wieso ist die Funktion für grosse $x$ fallend: [mm] \exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
Und wieso konvergiert die Reihe:
[mm] \sum_{n=1}^\infty \exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})} [/mm]
zur zweiten Frage: Die ist doch klar, sobald ich weiss, dass sie fallend ist, kann ich [mm] $\exp(-x)$ [/mm] nach oben mit [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] abschätzen, welche konvergiert, richtig?
dankeschöööööön
hula
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Hallo hula,
> Sei [mm]\gamma < 1[/mm], dann ist meine erste Frage, wieso ist die
> Funktion für grosse [mm]x[/mm] fallend: [mm]\exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
Den Exponenten kannst Du doch auch schreiben [mm] \bruch{1}{x^{1-\gamma}\wurzel{\log{x}}}. [/mm] Für große x geht er also gegen 0.
> Und wieso konvergiert die Reihe:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
Tut sie das? So, wie sie dasteht, macht sie gar keinen Sinn. Da wird etwas vom Laufindex Unabhängiges summiert. Falls die Summe aber von x=1 bis [mm] \infty [/mm] summiert wird, so laufen die einzelnen Glieder ja nur gegen 1, siehe oben.
> zur zweiten Frage: Die ist doch klar, sobald ich weiss,
> dass sie fallend ist, kann ich [mm]\exp(-x)[/mm] nach oben mit
> [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] abschätzen, welche konvergiert, richtig?
Wieso auf einmal [mm] \exp{(-x)} [/mm] ?
Nebenbei: Deine ö-Taste klemmt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Fr 15.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hula,
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> > Sei [mm]\gamma < 1[/mm], dann ist meine erste Frage, wieso ist die
> > Funktion für grosse [mm]x[/mm] fallend: [mm]\exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
>
> Den Exponenten kannst Du doch auch schreiben
> [mm]\bruch{1}{x^{1-\gamma}\wurzel{\log{x}}}.[/mm] Für große x geht
> er also gegen 0.
Hallo rev,
das erklärt aber nicht das Fallen.
FRED
>
> > Und wieso konvergiert die Reihe:
> >
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty \exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
>
> Tut sie das? So, wie sie dasteht, macht sie gar keinen
> Sinn. Da wird etwas vom Laufindex Unabhängiges summiert.
> Falls die Summe aber von x=1 bis [mm]\infty[/mm] summiert wird, so
> laufen die einzelnen Glieder ja nur gegen 1, siehe oben.
>
> > zur zweiten Frage: Die ist doch klar, sobald ich weiss,
> > dass sie fallend ist, kann ich [mm]\exp(-x)[/mm] nach oben mit
> > [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] abschätzen, welche konvergiert, richtig?
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> Wieso auf einmal [mm]\exp{(-x)}[/mm] ?
>
> Nebenbei: Deine ö-Taste klemmt.
>
> Grüße
> reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hula |
Hallo reverend
Danke für die Antwort! 1. ist mir jetzt klar!
Bei zwei sollte natürlich folgendes stehe
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty \exp{(-\frac {n^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{n}}})}[/mm]
>
Die Folge bildet ja eine $0$-Nullfolge, da der Term in [mm] $\exp$ [/mm] gegen [mm] $+\infinity$ [/mm] konvergiert und es gilt ja [mm] $\exp (-\infty)=0$.
[/mm]
Dann kann ich doch diese Exp funktion, welche fällt, durch [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] abschätzen, oder irre ich mich?
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 15.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] \gamma<1 [/mm] ist das keine nullfolge, und der Term in exp geht auch nicht gegen unendlich. lassdir das mal für etea [mm] \gamma=0.5
[/mm]
plotten.
Du hast offensichtlich ne falsche aufgabe, oder das divergiert weil die summanden keine NF sind.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Fr 15.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallöööööchen
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> Sei [mm]\gamma < 1[/mm], dann ist meine erste Frage, wieso ist die
> Funktion für grosse [mm]x[/mm] fallend: [mm]\exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
>
> Und wieso konvergiert die Reihe:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
>
> zur zweiten Frage: Die ist doch klar, sobald ich weiss,
> dass sie fallend ist, kann ich [mm]\exp(-x)[/mm] nach oben mit
> [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] abschätzen, welche konvergiert, richtig?
>
> dankeschöööööön
>
>
> hula
Sei [mm]f(x):=\exp{(\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
Wenn Du f' berechnest, siehst Du f'(x)<0 für x hinreichend groß.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hula |
Hallo fred
Leider habe ich ein Vorzeichen vergessen:
Sei [mm]\gamma < 1[/mm], dann ist meine erste Frage, wieso ist die Funktion für grosse [mm]x[/mm] fallend: [mm]\exp{(-\frac {x^{\gamma -1}}{\sqrt{\log{x}}})}[/mm]
Diese Funktion ist doch immer fallend, wieso wird explizit erwähnt, dass es nur für grosse $x$ gilt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 15.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo hula,
gilt nur [mm] \gamma<1 [/mm] oder gilt [mm] 0<\gamma<1 [/mm] ?
Hast Du Freds Tipp mit der Ableitung mal verfolgt?
Mir kommt die Aufgabenstellung spanisch vor. Da stimmt was nicht, nicht nur das Vorzeichen.
Grüße
reverend
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