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| Aufgabe | 2 Flugzeuge [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] fliegen mit gleich bleibender Geschwindigkeit auf einem geraden Kurs. [mm] F_1 [/mm] befindet sich bei t=0 in A(1|3|40) und bei t=3 in B(4|7|40). Entsprechende Punkte für [mm] F_2 [/mm] sind C(28|-20|11) (ich nehm an bei t=0) und D(25|-18|14). Die Koordinaten sind in Einheiten von 100m, die Zeitpunkte in s angegeben.
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Hallo,
hierzu versteh ich ein paar Aufgaben nicht:
b) Von einem "Beinah-Crash" spricht man, wenn der Abstand 2er Flugzeuge weniger als 1 LE entspricht. Überprüfen sie dies bei den Flugbahnen für [mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2.
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Positionen bei denen sich beide Flugzeuge am nächsten sind. Geben sie Zeit und Entfernung an.
Ich hab hierfür folgenden Ansatz verwendet:
Für die Fluggeraden [mm] s_{F_1} [/mm] und [mm] s_{F_2} [/mm] gilt:
[mm] s_{F_1}: \vec{x_{F_1}}=t*v_{F_1}*\bruch{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\vektor{1\\3\\40}\gdw s_{F_1}: \vec{x_{F_1}}=t*\bruch{100}{3}*\vektor{3\\4\\0}+\vektor{1\\3\\40}
[/mm]
[mm] s_{F_2}: \vec{x_{F_2}}=t*v_{F_2}*\bruch{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}+\vektor{28\\-20\\11} \gdw s_{F_2}: \vec{x_{F_2}}=t*100*\vektor{-3\\2\\3}+\vektor{28\\-20\\11}
[/mm]
Für den Abstand gilt [mm] d=|\overrightarrow{x_{F_1}x_{F_2}}|
[/mm]
Von dieser Funktion suche ich das absolute Minimum...
Man kann auch die Ersatzfkt. [mm] d_e(t) [/mm] betrachten (Wurzel weglassen)
[mm] d_e(t)=2290000t^2-\bruch{126200t}{3}+2099
[/mm]
[mm] d_e'(t)=4580000t-\bruch{126200}{3}
[/mm]
[mm] d_e''(t)=4580000
[/mm]
[mm] d_e'(t)=0 \gdw t=\bruch{631}{68700} [/mm] ....schon ne komische Zahl..hmm
[mm] d_e''(\bruch{631}{68700})>0 [/mm] also haben wir bei [mm] \bruch{631}{68700} [/mm] ein lokales Minimum der Funktion
[mm] d(\bruch{631}{68700})=4.3km [/mm] ... also gibts nach meiner Lösung kein Zusammenstoß nach Lösung aber doch .. die bekommen für d=38.4m raus...
Wo hab ich da nen Fehler??
Liebe Grüße und Danke im Voraus
Andreas
P.S.: Hab jetzt mal die Grenzwertbetrachtung mal weggelassen, da die Flugbahnen ja nicht unendlich sind...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 16.04.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> 2 Flugzeuge [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] fliegen mit gleich bleibender
> Geschwindigkeit auf einem geraden Kurs. [mm]F_1[/mm] befindet sich
> bei t=0 in A(1|3|40) und bei t=3 in B(4|7|40).
> Entsprechende Punkte für [mm]F_2[/mm] sind C(28|-20|11) (ich nehm an
> bei t=0) und D(25|-18|14). Die Koordinaten sind in
> Einheiten von 100m, die Zeitpunkte in s angegeben.
>
> hierzu versteh ich ein paar Aufgaben nicht:
>
> b) Von einem "Beinah-Crash" spricht man, wenn der Abstand
> 2er Flugzeuge weniger als 1 LE entspricht. Überprüfen sie
> dies bei den Flugbahnen für [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2.[/mm]
> c) Bestimmen Sie die Positionen bei denen sich beide
> Flugzeuge am nächsten sind. Geben sie Zeit und Entfernung
> an.
>
> Ich hab hierfür folgenden Ansatz verwendet:
>
> Für die Fluggeraden [mm]s_{F_1}[/mm] und [mm]s_{F_2}[/mm] gilt:
>
> [mm]s_{F_1}: \vec{x_{F_1}}=t*v_{F_1}*\bruch{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\vektor{1\\3\\40}\gdw s_{F_1}: \vec{x_{F_1}}=t*\bruch{100}{3}*\vektor{3\\4\\0}+\vektor{1\\3\\40}[/mm]
>
> [mm]s_{F_2}: \vec{x_{F_2}}=t*v_{F_2}*\bruch{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}+\vektor{28\\-20\\11} \gdw s_{F_2}: \vec{x_{F_2}}=t*100*\vektor{-3\\2\\3}+\vektor{28\\-20\\11}[/mm]
Hier hast du dich mit den Einheiten verheddert. Für t=3 müssen die Flieger doch in B bzw. D sein. Wenn du in deine Gln. t=3 einsetzt, ergibt sich aber etwas anderes.
Gruß aus HH-harburg
Dieter
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Hallo,
heißt das, dass ich die INformation 1LE=100m wieder aus den Geradengleichungen rausrechnen muss, weil ich den sonst doppelt eingerechnet hätte, nämlich einmal bei den beiden Geradengl. und einmal am Ende bei der Abstandsbestimmung??
Würde es dann stimmen?
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 16.04.2007 | | Autor: | statler |
auch hallo!
> heißt das, dass ich die INformation 1LE=100m wieder aus den
> Geradengleichungen rausrechnen muss, weil ich den sonst
> doppelt eingerechnet hätte, nämlich einmal bei den beiden
> Geradengl. und einmal am Ende bei der Abstandsbestimmung??
Genau, du rechnest einfach los mit den Zahlen, wie sie sind. Am Ende kriegst du ein d und t, und t sind Sekunden und d die 'Anzahl von 100-m-Abschnitten'. Die Flugbahnen sind hoffentlich windschief, dann kann man auch mit Normalen usw. arbeiten, aber dein Ansatz ist auch OK.
Gruß
Dieter
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Super!
vielen Dank! Nur noch eine Kleinigkeit..
In der Lösung rechnen die für a) lediglich den Abstand beider windschiefen Geraden.. Ist das nicht falsch?
meinen Ansatz bei für a) haben die erst bei b) benutzt.
So beträgt bei a) der gesuchte Abstand in der Lösung halt diese 38m und b) haben die beim Abstand der Flugzeuge 3.5km
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 16.04.2007 | | Autor: | statler |
> Super!
>
> vielen Dank! Nur noch eine Kleinigkeit..
Das ist keine Kleinigkeit, sondern kann überlebenswichtig sein!
> In der Lösung rechnen die für a) lediglich den Abstand
> beider windschiefen Geraden.. Ist das nicht falsch?
a) hast du nicht explizit hingeschrieben, es kommt drauf an, was da genau gefragt war.
> meinen Ansatz bei für a) haben die erst bei b) benutzt.
Dein Ansatz berechnet jedenfalls den Abstand d der Flieger zu jedem Zeitpunkt t. Im richtigen Leben könnten die Flugbahnen sogar identisch sein, die Flugsicherung muß dann dafür sorgen, daß die Flieger zu verschiedenen Zeiten fliegen, insbesondere bei Flügen in Gegenrichtung!
> So beträgt bei a) der gesuchte Abstand in der Lösung halt
> diese 38m und b) haben die beim Abstand der Flugzeuge
> 3.5km
Hab ich nicht nachgerechnet...
Ciao
Dieter
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ok. vielen dank
dann war die Aufgabe ungenau.. hab die Aufgabenstellung genau zitiert..
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> 2 Flugzeuge [mm]F_1[/mm] und [mm]F_2[/mm] fliegen mit gleich bleibender
> Geschwindigkeit auf einem geraden Kurs. [mm]F_1[/mm] befindet sich
> bei t=0 in A(1|3|40) und bei t=3 in B(4|7|40).
> Entsprechende Punkte für [mm]F_2[/mm] sind C(28|-20|11) (ich nehm an
> bei t=0) und D(25|-18|14). Die Koordinaten sind in
> Einheiten von 100m, die Zeitpunkte in s angegeben.
>
Hi,
Ich schlage eine weitere Lösung vor.
Die Flugbahnen von beiden Flugzeugen kann man durch die Gleichungen darstellen:
[mm] F_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 40} [/mm] + [mm] t*\vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] F_{1}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{28 \\ -20 \\ 11} [/mm] + [mm] t*\vektor{-3 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Ich nehme den Parameter t in beiden Fällen gleich, damit ich aus der Gleichung direkt die Punkte ermittele in denen sich die beiden Flugzeuge zum bestimmten Zeitpunkt befinden.
So kann man den Abstand zwischen zwei Punkte (1+3t | 3+4t|40) und (28-3t|-20+2t|11+3t) abhängig von t bestimmen.
Dann lokales Minimum berechnen. Ich habe t = 4,143 rausgekriegt. Zu diesem Zeitpunkt ist der Abstand am kleinsten und gleich 35,48 Einheiten.
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