2/3 Isomorphiesatz beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $ [mm] U_1, U_2 [/mm] $ Unterräume eines Vektorraumes V mit $ [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] $. Zeige:
$ [mm] V/U_2 \cong (V/U_1)/(U_2/U_1) [/mm] $ |
Mit ein bisschen Hilfe aus bereits existierenden Beweisen bin ich mal so weit gekommen:
1.) Ich suche einen Isomorphismus von $ [mm] V/U_2 [/mm] $ zu $ [mm] (V/U_1)/(U_2/U_1) [/mm] $
2.) Ich betrachte die Abbildungen
$f: V [mm] \to V/U_1 [/mm] $ und
$g: [mm] V/U_1 \to (V/U_1)/(U_2/U_1) [/mm] $
sowie die Verkettung beider Funktionen:
$h: V [mm] \to (V/U_1)/(U_2/U_1) [/mm] $
Mit Hilfe des 1. Isomorphiesatzes möchte ich nun zeigen:h ist surjektiv.
Denn daraus folgt: [mm] $(V/U_1)/(U_2/U_1)$ [/mm] ist ein Isomorphismus zu $V/ker(h)$.
Um die Aufgabe zu lösen muss ich also zeigen:
a) h ist surjektiv
b) ker(h) = [mm] $U_2$
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich das tun kann.
Ist der Ansatz denn wenigstens schonmal richtig?
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Hallo Kartoffelchen,
Dein Ansatz ist sehr gut! $h $ ist eine Komposition von surjektiven Abbildungen. Was weißt du darüber? Mit dem Kern würde ich einfach mal mit der Definition anfangen: [mm] $\ker h=\{x\in V:h (x)=0_{(V/U_1)/(U_2/U_1)}\}=...=U_2$.
[/mm]
Übrigens gibt es einen alternativen Weg: Du kannst auch einen Homomorphismus $ [mm] V/U_1\longrightarrow V/U_2$ [/mm] betrachten und zeigen, dass der Kern gerade $ [mm] U_2/U_1$ [/mm] ist. Auf diese Weise kommst du zum selben Ergebnis. Mache dir am besten beide Wege klar, dann ist der Lerneffekt doppelt so groß.
Ich übertreibe nämlich nicht, wenn ich sage, dass der Homomorphiesatz einer der wichtigsten Sätze der Mathematik überhaupt ist (du wirst ihm noch häufig und in verschiedensten Kontexten begegnen).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
vielen Dank! Die Komposition surjektiver Abbildungen ist surjektiv, also auch meine Funktion h.
Was nun den Kern angeht:
Den ersten Schritt verstehe ich ja noch, ist ja bloß die Definition. Aber wie erhalte ich letztlich daraus U2?
Den alternativen Lösungsweg finde ich toll (allein schon, wie du sagst, zu Übungszwecken). Aber auch hier stelle ich mir wieder die Frage: wie berechne ich den Kern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Sa 04.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo UniversellesObjekt,
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> vielen Dank! Die Komposition surjektiver Abbildungen ist
> surjektiv, also auch meine Funktion h.
>
> Was nun den Kern angeht:
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> Den ersten Schritt verstehe ich ja noch, ist ja bloß die
> Definition. Aber wie erhalte ich letztlich daraus U2?
Wende ersteinmal die Definition von $h$ an bzw. die von $f$ und $g$. Du weisst doch wie $f$ und $g$ definiert sind,oder? Dann kannst Du Dir ueberlegen, fuer welche $x$ Null herauskommt.
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> Den alternativen Lösungsweg finde ich toll (allein schon,
> wie du sagst, zu Übungszwecken). Aber auch hier stelle ich
> mir wieder die Frage: wie berechne ich den Kern?
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