2Z/4z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Fr 17.10.2014 | | Autor: | felixp |
Hallo,
ich versuche herauszufinden, was ich unter dem Ring 2Z/4Z zu verstehen habe.
Klar ist so etwas wie Z/2Z = {0,1}, der Restklassenkörper ist. Aber welche Elemente liegen jetzt in 2Z/4Z.
Vielleicht kann mir einer auch die Idee dahinter erklären, wie der Ring aufgebaut ist.
Viele Dank
Felix
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Das ist kein Ring, sondern ein [mm] $\IZ [/mm] $-Modul. [mm] $2\IZ [/mm] $ ist ein Untermodul von [mm] $\IZ [/mm] $, [mm] $4\IZ [/mm] $ ein Untermodul von [mm] $2\IZ [/mm] $. Der Quotient ist isomorph zu [mm] $\IZ/2$ [/mm] (warum?).
Natürlich kann man auf [mm] $\IZ/2$ [/mm] eindle Ringstruktur definieren, aber es wäre konzeptionell falsch, diese auf [mm] $2\IZ/4\IZ [/mm] $ zu übertragen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 17.10.2014 | | Autor: | felixp |
Alles klar, hatte das falsch notiert Z-Modul ergibt in dem Zusammenhang auch mehr Sinn. Also ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung wieso dieser isomorph dazu ist. Also klar ist das aufgrund der Untermoduln die Struktur und Eigenschaften erhalten bleiben und Isomorphie von Moduln Äquivalenzrelation ist. Ich kann aufjedenfall ja eine Abbildung finden die Z-Homomorphismus ist und somit sollte doch dann die isomorphie der beiden Moduln folgen?
Aber sonst habe ich keine Idee. Und wie sehen denn jetzt die Elemente von 2Z/4Z aus. Ich stehe da auf dem Schlauch
Gruß Felix
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Betrachte den Homomorphismus [mm] $2\IZ\longrightarrow\IZ\longrightarrow \IZ/2\IZ [/mm] $, welcher zunächst jede gerade Zahl halbiert und dann die kanonische Projektion hinterherschaltet. Wie sieht der Kern aus?
Das Argument lässt sich verallgemeinern - es gilt [mm] $a\IZ/ab\IZ\cong\IZ/b\IZ [/mm] $ für $ a, [mm] b\in\IZ [/mm] $, $ [mm] a\not=0$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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