2. Dreiecksungleichung Beweis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie die "zweite" Dreiecksungleichung ||a| - |b|| [mm] \le [/mm] |a - b|. |
Hallo,
ich hab eine Aufgabenstellung, bei der ich die 2. Dreiecksungleichung herleiten soll. Ich hab auch eine Musterlösung, allerdings ist die mir zu kurz, und ich versteh's nicht:
Sie lautet:
>>Aus der (ersten) Dreiecksungleichung (|a + b] [mm] \le [/mm] |a| + |b|) ergibt sich
|a| = |b+(-1)(b-a)| [mm] \le [/mm] |b|+|(-1)(b-a)|=|b|+|a-b|
woraus |a| - |b| [mm] \le [/mm] |a - b| folgt. Ganz entsprechend erhält man (im Wesentlichen braucht man nur a mit b zu vertauschen) |b| - |a| [mm] \le [/mm] |b - a| = |a - b|. Ist nun |a| - |b| [mm] \ge [/mm] 0, dann folgt
||a| - |b|| = |a| - |b| [mm] \le [/mm] |a - b|,
und im Fall |a| - |b| < 0 ergibt sich
||a| - |b|| = -(|a| - |b|) = |b| - |a| [mm] \le [/mm] |a - b|.
Damit ist die zweite Dreiecksungleichung bewiesen.<<
Das Problem ist, ich versteh noch nicht einmal, wie man von der ersten Dreiecksungleichung auf
|a| = |b+(-1)(b-a)| [mm] \le [/mm] |b|+|(-1)(b-a)|=|b|+|a-b|
kommt! Kann mir bitte jemand helfen??
Danke,
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 So 01.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
In dem ersten Schritt bei [mm] $\left| \ a \ \right|$ [/mm] wurde eine geeignete Null addiert:
[mm] $\left| \ a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a +b-b\ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ b+(a -b)\ \right|$
[/mm]
Nun kannst Du bereits hierauf die Dreiecksungleichung anwenden:
[mm] $\left| \ \red{b}+\blue{(a -b)}\ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left| \ \red{b} \ \right|+\left| \ \blue{a -b}\ \right|$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Eine Null addiert? Ich verstehe leider grad gar nichts! Kannst du das bitte noch ein bisschen ausführlicher erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 01.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also zunächst hat man ja la+bl [mm] \le [/mm] lal +lbl. Das wendet man jetzt an:
lal = lb+ (-1)(b-a)l (denn: b+ (-1)(b-a)=a)Das ist hier sozusagen ein Trick.
[mm] \le [/mm] lbl + l(-1)(b-a)l ( 1. Dreiecksungleichung!)
= lbl + la-bl, also hat man jetzt da stehen:
lal [mm] \le [/mm] lbl + la-bl und somit: lal - lbl [mm] \le [/mm] la-bl
Genauso zeigt man: lbl - lal [mm] \le [/mm] lb-al = la-bl
Und somit hat man auch: l lal - lbl l [mm] \le [/mm] la-bl.
Ich hoffe das hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
ich versteh den Trick nicht:
a = b + (-1)(b-a)
Wie leitest du das ab?
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Hallo sancho,
es geht ja darum, aus |a| die Ungleichung [mm] |a|\le [/mm] $|a-b|+|b|$ hinzubasteln:
Das machst du, indem du zu a eine "nahrhafte Null" addierst, wie oben schon erwähnt wurde, also
[mm] |a|=|a-b+b|=|(a-b)+b|\le [/mm] $|a-b|+|b|$ nach der ersten Dreiecksungl.
Und es ist $(-1)(b-a)=-b-(-a)=-b+a=a-b$ nur eine andere Schreibweise
für $|a-b|=|(-1)(a-b)|=|b-a|$
Nun klar(er)?
Gruß
schachuzipus
PS: Hier https://matheraum.de/read?i=217394 wurde das schon mal besprochen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 01.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ja, jetzt ist es klar.
Hab das Ganze ungefähr ne halbe Stunde angeschaut. Da wird einem ja schwindlig!
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