2. Ableitung nach einem Tensor < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:12 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Profondo |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich suche eine Definition der 2. Ableitung nach einem Tensor.
Sei [mm]f: \IR^{3 \times 3} \to \IR, \ \ f=f(A)[/mm]. Dann ist [mm]\frac{\partial^2}{\partial A^2}f(A)=[/mm]?
Ich habe nur eine Definition der ersten Ableitung gefunden, sie lautet:
[mm]\left( \frac{\partial f(A)}{\partial A_{ij}} \right)_{ij}[/mm], ist also ein 3x3-Tensor. Ich könnte mir vorstellen, dass die 2. Ableitung ein 3x3x3x3-Tensor ist, habe die Def. aber nirgendwo sicher gefunden...
Ebenso geht es mir mit der Definition des "Doppelpunktproduktes": Sind A, B zwei 3x3-Tensoren, gilt: [mm]A:B = tr(A^T B)=\sum_{i,j=1}^{3}A_{ij}B_{ij}[/mm]. Wie ist aber A:B definiert, wenn A ein 4-stufiger und B ein 2-stufiger Tensor ist?
Ich danke allen im Voraus für Eure Mühe!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
ich fürchte mit dem Thema kennt sich hier keiner aus, inklusive mir.
Vielleicht versucht du einmal beim ![[]](/images/popup.gif) Matheplaneten eine Antwort zu bekommen? (Du kannst uns ja Bescheid sagen, wenn du eine hast, denn es würde mich schon interessieren.)
Ein Buch, wo die zweite Ableitung eines Tensors (in deinem Sinne) anscheinend definiert wird, könnte dieses hier sein (Seite 126). Schau es dir in eurer Uni-Bibliothek doch einmal an, falls ihr es dort habt.
Tut mir leid, dass wir dir nicht helfen können, aber mir ist das zu technomathematisch. 
(Soll einfach nur heißen: Ich ärgere mich, dass ich von so etwas keine Ahnung habe. )
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Do 16.09.2004 | | Autor: | Profondo |
Hallo Mathe-Raum!
Ich habe jetzt eine Antwort direkt vom Autor des Artikels bekommen, in dem die fraglichen Ausdrücke vorkamen. Wenn mein Französisch gut genug ist, wovon ich mal ausgehe  dann ist tatsächlich
[mm]\frac{\partial^2 f(A)}{\partial A^2} = C_{ijkl} = \frac{\partial^2 f(A)}{\partial A_{ij} \partial A_{kl}}[/mm].
Der "Doppelpunkt" [mm]C:B[/mm] steht für eine sog. doppelte Kontraktion des 4-stufigen Tensors C mit dem 2-stufigen Tensor B. Eine einfache Kontraktion wäre wieder ein 4-stufiger Tensor [mm]C.D = \sum_{l}C_{ijkl}. D_{lm}= G_{ijkm}[/mm], eine doppelte Kontraktion ergibt den 2-stufigen Tensor [mm]C:D = \sum_{k,l}C_{ijkl}. D_{kl}= G_{ij}[/mm].
Die "echten" Bezeichnungen im Deutschen habe ich noch nicht, das sind noch so etwas wie Übersetzungen aus franszösischen Websites und Emails. Viele Grüße
Profondo
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