2. Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Fr 21.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
| Aufgabe | Zweite Ableitung bestimmen von
a) f(x) = [mm] (x^{2} [/mm] + [mm] 5)^{8}
[/mm]
und
b) f(x) = [mm] \wurzel{1+x^{2}}
[/mm]
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Hi!
Zu beiden Aufgaben hab ich die Lösung aus vorangegangenen Jahren.
Ich habe beides selber ausgerechnet, aber meine Lösung stimmt nicht mit der angegebenen Lösung überein.
a) die angebliche Lösung ist hier f''(x) = 80 [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{6}(3t^{2} [/mm] + 1)
meine erste Ableitung ist f'(x) = [mm] 16t(t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{7} [/mm] und meine zweite Ableitung ist
f''(x) = 16 [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{7} [/mm] + [mm] 224(t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{6} [/mm] = 16 [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{6} (t^{2} [/mm] + 19)
b) angebliche Lösung f''(x) = (1 + [mm] x^{2})^{-3/2}
[/mm]
meine Lösung:
f'(x) = [mm] x(1+x^{2})^{-1/2}
[/mm]
f''(x) = [mm] (1+x^{2})^{-1/2} [/mm] - [mm] x^{2}(1+x^{2})^{-3/2}
[/mm]
Ich komme beim besten Willen nicht auf die "richtige" Lösung. Zwei Vermutungen: 1. Fehler bei mir, 2. Fehler im Original!
Wer kann mir helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo antoni,
> Zweite Ableitung bestimmen von
> a) f(x) = [mm](x^{2}[/mm] + [mm]5)^{8}[/mm]
> und
> b) f(x) = [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm]
>
> Hi!
>
> Zu beiden Aufgaben hab ich die Lösung aus vorangegangenen
> Jahren.
>
> Ich habe beides selber ausgerechnet, aber meine Lösung
> stimmt nicht mit der angegebenen Lösung überein.
>
> a) die angebliche Lösung ist hier f''(x) = 80 [mm](t^{2}[/mm] +
> [mm]5)^{6}(3t^{2}[/mm] + 1)
>
> meine erste Ableitung ist f'(x) = [mm]16t(t^{2}[/mm] + [mm]5)^{7}[/mm] und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> meine zweite Ableitung ist
> f''(x) = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{7}[/mm] + [mm]224(t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6}[/mm]
Hier fehlt was. Das richtige Ergebnis ist:
$ f''(x) = 16 [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{7} [/mm] + 224 [mm] t^2 (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{6} [/mm] $
> = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} (t^{2}[/mm] + 19)
Hier hast du dich auch verrechnet. Es gilt $ 16 [mm] \cdot [/mm] 14 = 224 $
>
> b) angebliche Lösung f''(x) = (1 + [mm]x^{2})^{-3/2}[/mm]
>
> meine Lösung:
> f'(x) = [mm]x(1+x^{2})^{-1/2}[/mm]
> f''(x) = [mm](1+x^{2})^{-1/2}[/mm] - [mm]x^{2}(1+x^{2})^{-3/2}[/mm]
Hier hast du alles richtig gemacht. Du kannst aber jetzt noch $ [mm] (1+x^{2})^{-3/2} [/mm] $ ausklammern. Dann kommst du an das angegebene Ergebnis.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 21.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
> > a) die angebliche Lösung ist hier f''(x) = 80 [mm](t^{2}[/mm] +
> > [mm]5)^{6}(3t^{2}[/mm] + 1)
> [mm]f''(x) = 16 (t^{2} + 5)^{7} + 224 t^2 (t^{2} + 5)^{6}[/mm]
>
> > = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} (t^{2}[/mm] + 19)
also ich bin durch ausklammern von 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm] 5)^{6} [/mm] darauf gekommen, sehe den Fehler nicht
[mm]f''(x) = 16 (t^{2} + 5)^{7} + 224 t^2 (t^{2} + 5)^{6}[/mm]
= 16 [mm] (t^{2} [/mm] + [mm] 5)^{6} [(t^{2} [/mm] + 5) +14]
= 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} (t^{2}[/mm] + 19)
> > b) angebliche Lösung f''(x) = (1 + [mm]x^{2})^{-3/2}[/mm]
> noch [mm](1+x^{2})^{-3/2}[/mm] ausklammern. Dann kommst du an das
> angegebene Ergebnis.
>
Danke
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Hallo antoni1!
> > > a) die angebliche Lösung ist hier f''(x) = 80 [mm](t^{2}[/mm] +
> > > [mm]5)^{6}(3t^{2}[/mm] + 1)
>
> > [mm]f''(x) = 16 (t^{2} + 5)^{7} + 224 t^2 (t^{2} + 5)^{6}[/mm]
> >
> > > = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} (t^{2}[/mm] + 19)
>
> also ich bin durch ausklammern von 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6}[/mm]
> darauf gekommen, sehe den Fehler nicht
>
> [mm]f''(x) = 16 (t^{2} + 5)^{7} + 224 t^2 (t^{2} + 5)^{6}[/mm]
> =
> 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} [(t^{2}[/mm] + 5) +14]
> = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6} (t^{2}[/mm] + 19)
Du hast übersehen, dass bei dir vorher ein [mm] t^2 [/mm] vor der Klammer fehlte, deswegen war dein weiterer Schritt auch nicht korrekt. Es gilt:
[mm] 16(t^2+5)^7+224t^2(t^2+5)^6=16(t^2+5)^6((t^2+5)+14t^2)
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 23.09.2007 | | Autor: | antoni1 |
Danke!
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Hi, antoni,
> Zweite Ableitung bestimmen von
> a) f(x) = [mm](x^{2}[/mm] + [mm]5)^{8}[/mm]
> und
> b) f(x) = [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm]
>
>
> Ich habe beides selber ausgerechnet, aber meine Lösung
> stimmt nicht mit der angegebenen Lösung überein.
>
> a) die angebliche Lösung ist hier f''(x) = 80 [mm](t^{2}[/mm] +
> [mm]5)^{6}(3t^{2}[/mm] + 1)
Bis auf die Tatsache, dass die Variable x und nicht t heißt, ist dieses Ergebnis richtig!
> meine erste Ableitung ist f'(x) = [mm]16t(t^{2}[/mm] + [mm]5)^{7}[/mm] und
> meine zweite Ableitung ist
> f''(x) = 16 [mm](t^{2}[/mm] + [mm]5)^{7}[/mm] + [mm]224(t^{2}[/mm] + [mm]5)^{6}[/mm]
Wieder x statt t, aber weiter:
f''(x) = [mm] 16*(x^{2}+5)^{7} [/mm] + [mm] 16x*7*(x^{2}+5)^{6}*2x
[/mm]
= [mm] 16*(x^{2}+5)^{7} [/mm] + [mm] 224x^{2}*(x^{2}+5)^{6}
[/mm]
usw.
Bei b) hat Dir ja Sigrid bereits geholfen!
mfG!
Zwerglein
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