2-er und 3-er Potenzreihen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Do 26.12.2013 | | Autor: | zahlbar |
| Aufgabe | Erstmal ein Hallo in die Runde. Wenn meine Frage ein 'alter Hut' ist, bitte ich um Verständnis. Ich bin kein Profi, sondern nur ein an Zahlentheorie und ähnlichen Fragen interessierter Laie. Meine Frage ist:
Gibt es für die Gleichung
[mm] 3^n [/mm] - 1 = [mm] 2^m
[/mm]
ganzzahlige Lösungen für m, n > 3 ? |
Die beiden Lösungen, die ich kenne, sind für m,n = 1 und m,n = 3,2. Interessant wäre, ob es eine Lösung für m,n > 3 nur für ungerade m gibt, wie in den beiden Beispielen.
Wie könnte ein allgemeiner Beweis aussehen? Erinnert mich entfernt an den 'großen Fermat'.
Lg
zahlbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hey,
nein, es gibt keine weiteren Lösungen.
Dafür betrachten wir unser Problem mal modulo 4:
Für $m [mm] \geq [/mm] 2$ ist [mm] $2^m \equiv [/mm] 0 (mod 4)$.
Da $3 [mm] \equiv [/mm] -1 (mod 4)$, muss also $n$ gerade sein; denn für gerades $n$ ist [mm] $3^n [/mm] - 1 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 4)$ und für ungerades $n$ ist [mm] $3^n-1 \equiv [/mm] 2 (mod 4)$.
Sei also $n = 2k$ für ein $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann ist [mm] $3^n-1 [/mm] = [mm] 3^{2k}-1 [/mm] = [mm] (3^k-1)(3^k+1)$.
[/mm]
Wäre dies eine Zweierpotenz, so müssten beide Faktoren Zweierpotenzen sein.
Und es sollte schnell ersichtlich sein, wieso dir das für $m>3$ ernsthafte Probleme bereitet. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Do 26.12.2013 | | Autor: | zahlbar |
Hey Schadow,
vielen dank für die prompte lösung!!!
(so einfach, da ärgert es mich, nicht selbst drauf gekommen zu sein!)
lg
zahlbar
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> (so einfach, da ärgert es mich, nicht selbst drauf
> gekommen zu sein!)
Reine Übungssache.
Wenn man einer Gleichung ihre Unlösbarkeit nachweisen möchte, ist es immer sinnvoll, sie modulo gewisser Zahlen zu betrachten.
Denn jede Lösung muss auch noch modulo (in diesem Beispiel) 4 eine Lösung sein.
Wenn einem - so wie hier - das noch keinen Widerspruch liefert, so erhält man dadurch doch oftmals gewisse Bedingungen, die für die Zahlen gelten müssen.
Modulo welcher Zahlen man das ganze betrachtet ist dabei Übungssache und Geschmackssache.
Wobei man allerdings darauf achten sollte, zuerst die leichten Zahlen zu probieren.
Da wir es hier mit 2 und 3 zu tun haben, würde ich modulo folgender Zahlen arbeiten, in der Reihenfolge:
2,3,4,8,9
Zwar könnte man zB auch modulo 16 arbeiten, aber Potenzen von 3 modulo 16 sind bei weitem nicht so übersichtlich und schön wie sie modulo 4 oder 8 sind.
Sollten all diese Modulobetrachtungen und die daraus erhaltenden Zusatzinfos keinen Widerspruch geben, so ist es dann wohl an der Zeit eine Lösung zu suchen; nur jetzt mit Zusatzinfos. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Do 26.12.2013 | | Autor: | zahlbar |
tja, gewusst wie! ich bin eben nur interessierter laie, aber immer froh, dazu zu lernen!
besonders die zahlen und die darin verborgenen - oft frappierenden und unglaublichen - verbindungen, abhängigkeiten, regeln und gesetze faszinieren mich (z. b. collatzfolgen).
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