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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 18.05.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | [mm] f_\alpha [/mm] sei von R nach R: [mm] f_\alpha(x):= sin(x-\alpha).
[/mm]
Nun soll hezeigt werden, dassder von den Fkt. [mm] f_\alpha [/mm] aufgespannte VR 2-dimensional ist. |
Hallo mal wieder, eine vermutlich leichtere Aufgabe, die mich momentan aber noch etwas verwirrt!
Ich dachte halt gleich im ersten Moment an die Additionstheoreme, also:
[mm] sin(x-\alpha)=sin [/mm] x cos [mm] \alpha [/mm] - cos x sin [mm] \alpha.
[/mm]
Jetzt sieht man ja schon, dass sich eine Funktion immer aus zwei Teilen zusamensetzten lässt, also zwei- dim. ist. Aber was mich jetzt verwirrt ist die Tatsache, dass es ja immernoch rein theoretisch sein kann, dass auch nur ein Teil aussreicht, aber wie kann ich das ausschließen? Und ist das was ich mir bis hierhin ünberlegt habe korrekt?
Vielen dank schonmal im voraus LariC
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> [mm]f_\alpha[/mm] sei von R nach R: [mm]f_\alpha(x):= sin(x-\alpha).[/mm]
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> Nun soll hezeigt werden, dassder von den Fkt. [mm]f_\alpha[/mm]
> aufgespannte VR 2-dimensional ist.
> Hallo mal wieder, eine vermutlich leichtere Aufgabe, die
> mich momentan aber noch etwas verwirrt!
>
> Ich dachte halt gleich im ersten Moment an die
> Additionstheoreme, also:
> [mm]sin(x-\alpha)=sin[/mm] x cos [mm]\alpha[/mm] - cos x sin [mm]\alpha.[/mm]
Hallo,
...= [mm] \cos\alpha \sin [/mm] x - [mm] \sin\alpha \sin(x+\bruch{pi}{2}).
[/mm]
> Jetzt sieht man ja schon, dass sich eine Funktion immer
> aus zwei Teilen zusamensetzten lässt, also zwei- dim. ist.
Fürchterlich...
Du wolltest sicher eigentlich sagen, daß Du für jedes [mm] \alpha\in \IR [/mm] die Funktion [mm] f_{\alpha} [/mm] schreiben kannst als Linearkombination von [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_{-\bruch{\pi}{2}}.
[/mm]
Jedes Element des Erzeugendensystems [mm] \{f_{\alpha}| \alpha\in \IR\} [/mm] ist also eine Linearkombination dieser beiden Funktionen, was bedeutet, daß [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_{-\bruch{pi}{2}} [/mm] den Raum erzeugen.
> Aber was mich jetzt verwirrt ist die Tatsache, dass es ja
> immernoch rein theoretisch sein kann, dass auch nur ein
> Teil aussreicht, aber wie kann ich das ausschließen?
Nun zeigst Du, daß [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_{-\bruch{\pi}{2}} [/mm] linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
Und
> ist das was ich mir bis hierhin ünberlegt habe korrekt?
> Vielen dank schonmal im voraus LariC
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 18.05.2010 | | Autor: | LariC |
Ich denke das habe ich verstanden vielen Dank!
Nur noch eine kleine Nachfrage zu der l. u.:
Reicht es wirklich aus zu zeigen, dass [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_{-\pi/2} [/mm] l.u. sind, weil eigentlich muss doch gelten:
[mm] sin(\alpha+\pi/2)*sin(x-0)-sin(\alpha)*sin(x+\pi/2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] sin(\alpha+\pi/2)=-sin(\alpha)=0 [/mm]
Anonsten würde man es ja mit beliebigen Konstanten a und b zeigen, also so:
[mm] a*sin(x-0)+b*sin(x+\pi/2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=b=0
Also nochmal meine Frage - ist es nicht notwendig den ersten fall zu betrachtne, weil die Konstanten auch vom [mm] \alpha [/mm] abhängen?
Und vielen dank für die gute Hilfe - das hatte mir sehr geholfen!
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> Ich denke das habe ich verstanden vielen Dank!
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> Nur noch eine kleine Nachfrage zu der l. u.:
> Reicht es wirklich aus zu zeigen, dass [mm]f_0[/mm] und [mm]f_{-\pi/2}[/mm]
> l.u. sind, weil eigentlich muss doch gelten:
>
> [mm]sin(\alpha+\pi/2)*sin(x-0)-sin(\alpha)*sin(x+\pi/2)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]sin(\alpha+\pi/2)=-sin(\alpha)=0[/mm]
Hallo,
kannst Du etwas genauer sagen, was Dich umtreibt?
Ich kann Deinen Gedanken leider nicht nachvollziehen.
Für die lineare Unabhängigkeit von [mm]f_0[/mm] und [mm]f_{-\pi/2}[/mm] ist jedenfalls zu zeigen, daß aus
a [mm]f_0[/mm] +b [mm]f_{-\pi/2}[/mm] = Nullfunktion folgt, daß a=b=0,
was äquivalent ist zu
> [mm]a*sin(x-0)+b*sin(x+\pi/2)=0[/mm]
für alle x
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=b=0
Nochmal kurz der Gedanke:
Der VR, den wir gerade betrachten, wird erzeugt von sämtlichen Funktionen [mm] f_\alpha [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR.
[/mm]
Jede dieser Funktionen ist eine Linearkombination von [mm]f_0[/mm] und [mm]f_{-\pi/2}[/mm] , was wir bereits vorgerechnet hatten.
Also ist [mm] \{ f_0, f_{-\pi/2}\} [/mm] ein Erzeugendensystem Deines VRes.
Um zu zeigen, daß es eine Basis ist, zeigen wir die lineare Unabhängigkeit, und zwar so, wie oben besprochen.
Damit kannst Du Dich jetzt ein wenig vergnügen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Di 18.05.2010 | | Autor: | LariC |
Ok...danke du hast meine Frage damit schon beantwortet!
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