2-Norm für Matrizen, < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:54 Do 11.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich hänge schon wieder bei einer Numerik-Aufgabe.
a) Zeige, dass die von der euklidischen Vektornorm [mm]||x||_2 = \wurzel{\summe_{i=1}^{n}x_i^2} [/mm] induzierte Matrixnorm gegeben ist durch [mm]||A||_2 = \wurzel{max{|\lambda|: \lambda ist Eigenwert von A^{T}A}}[/mm]. Benutze dabei, dass jede symmetrische Matrix aus [mm]\IR^{n\times n}[/mm] n orthogonale Eigenvektoren hat.
Da weiß ich nicht wie ich anfangen soll und was mir der Hinweis sagen soll?
b) Zeige, dass für die Konditionszahl zur [mm]||.||_2[/mm]-Norm für symmetrisch positiv definite Matrizen A die Identität [mm] cond_2(A) = \bruch{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}[/mm] gilt, wobei [mm]\lambda_{max}[/mm] der größte und [mm]\lambda_{min}[/mm] der kleinste Eigenwert von A sind.
Dazu habe ich zwar schon verschiedenes in Büchern gefunden, aber auch hier wieß ich nicht, wie ich es umsetzten soll.
c) Wir betrachen das LGS Ax=b, wobei A symmetrisch positiv definit ist. Der Einfachheit wegen seinen alle Eigenwerte von A verschieden. Es sei b gestört um [mm]\delta b[/mm] mit gegebener Norm [mm]||\delta b||_2 = \varepsilon[/mm]. Bei welcher Richtung [mm]\delta b[/mm] wird die zugehörige Störung [mm]||\delta x||_2[/mm] maximal?
Da fällt mir gar nichts zu ein???
Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen!!!!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo Joergi,
Die euklidische Vektornorm kann man auch folgendermaßen schreiben:
[mm]||x||_2=\wurzel{x^Tx}[/mm]
Wie sieht denn die Normdefinition für Matrizen aus?
Wo könnte man da Eigenschaften von [mm]A^TA[/mm] gebrauchen?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Di 16.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo,
danke schon mal für deine Antwort, aber irgendwie steht da wohl ein Nilpferd auf meiner Leitung!
Also ich weiß eigetlich nicht so wirklich wie du das meinst mit deinem Hinweis, weil ich nicht weiß worauf du hinaus willst.
Wenn natürlich die Matrixnorm ganauso definiert ist, wie die Vektornorm ok, aber irgendwie???
Könntest du mir da noch mal auf die Sprünge helfen???
Danke!!!!!!!!!
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Hallo joergi,
> Wenn natürlich die Matrixnorm ganauso definiert ist, wie
> die Vektornorm ok, aber irgendwie???
Definition der Matrixnorm ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
gruß
mathemaduenn
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