12 Schüler auf 12 Monate < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 21.04.2005 | | Autor: | ingobar |
Folgende Aufgabe.
Wie wahrscheinlich ist es, dass 12 Schüler in 12 verschiedenen Monate Geburtstag haben, wenn jeder Monat gleichwahrscheinlich ist?
Richtige Antwort:
[mm] \bruch{12!}{ 12^{12}}
[/mm]
Meine Antwort:
Analog zum MISSISSIPPI- Problem modeliere ich das Problem um. Ein Ergebnistupel sieht so aus:
xx|xxxx||x|x|x|||x|x|x|
Das bedeutet: Im Januar haben 2 Geburtstag, im Februar 4, im März keiner usw.
Damit ist die Anzahl der Aufteilungen:
[mm] \bruch{23!}{12!11!}
[/mm]
Da es keine Rolle spielt, ob Fritz im Januar und Hans im Februar oder umgekehrtGeburtag hat. Die Anzahl des gewünschten Ereignisses
x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x ist 12!11!, da der erste Schüler 12 Monate zur Verfügung hat, dann elf usw. Für die senkrechten Striche gilt das Gleiche.
Damit hätte ich aber
[mm] \bruch{12!11!}{\bruch{23!}{12!11!}} [/mm] =
[mm] \bruch{12!11!12!11!}{23!} [/mm] > 1!
Wo ist der Denkfehler? Denn der Ansatz mit dem Tupel müsste eigentlich richtig sein.
Danke, ingobar
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Hey Ingobar
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> Wie wahrscheinlich ist es, dass 12 Schüler in 12
> verschiedenen Monate Geburtstag haben, wenn jeder Monat
> gleichwahrscheinlich ist?
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> Richtige Antwort:
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> [mm]\bruch{12!}{ 12^{12}}[/mm]
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> Da es keine Rolle spielt, ob Fritz im Januar und Hans im
> Februar oder umgekehrtGeburtag hat. Die Anzahl des
> gewünschten Ereignisses
> x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x ist 12!11!, da der erste Schüler
> 12 Monate zur Verfügung hat, dann elf usw. Für die
> senkrechten Striche gilt das Gleiche.
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> Damit hätte ich aber
>
> [mm]\bruch{12!11!}{\bruch{23!}{12!11!}}[/mm] =
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> [mm]\bruch{12!11!12!11!}{23!}[/mm] > 1!
was meinst du hier????
>
> Wo ist der Denkfehler? Denn der Ansatz mit dem Tupel müsste
> eigentlich richtig sein.
>
Leider kenn ich weder das Mississippi problem noch kann ich deinen ansatz 100% nachvollziehen...
Aber eigentlich ist diese Aufgabe sehr einfach, schau mal:
Du hast 12 Monate und 12 Schüler die du auf diese Monate "verteilst".
nun willst du wissen wie wahrscheinlich es ist, dass jeder in einem anderen Monat geburtstag hat, also gehst du der reihe nach vor:
Bei Schüler 1 ist es noch egal in welchem Monat er geb. hat, es gibt für ihn 12 mögliche Ereignisse. Schüler Nummer 2 muss dann für deine gesuchte wahrscheinlichkeiten in einem der 11 anderen Monaten geb. haben. Schüler nr. 3 hat dann nur noch 10 mögliche Monate in denen er geburtstag haben darf, Schüler nr. 4 noch 9 Möglichkeiten, usw.
so ähnlich meintest du das doch auch oder? Bin nur nicht aus deinen Tupeln schlau geworden..
stell dir doch das ganze als Baumdiagramm vor Das obige ereigniss sei der Pfad von dem du die wahrscheinlichkeit berechnen möchtest, also musst du die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dass die einzelnen Schritte eintreten miteinander multiplizieren:
[mm] \bruch{12}{12}* \bruch{11}{12} [/mm] * [mm] \bruch{10}{12}* \bruch{9}{12}* \bruch{8}{12}* \bruch{7}{12}* \bruch{6}{12}* \bruch{5}{12}* \bruch{4}{12} *\bruch{3}{12}* \bruch{2}{12}* \bruch{1}{12}= \bruch{12!}{12^(12)}
[/mm]
Diese wahrscheinlichkeiten entstehen dadurch dass du die Anzahl der eweils für das Ereigniss günstigen Ereignisse(in diesem Fall günstige Monate)durch die Gesammt zahl der Erignisse(Stehen immer 12 Monate zur verfügung)teilst!!
Hoffe konnte dir helfen
Gruß
Christina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:23 Fr 22.04.2005 | | Autor: | ingobar |
Danke für die Mühe und die ganze Erklärung. Die richtige Lösung ist mir jetzt klar. Nur weiß ich immer noch nicht, warum die andere Lösung falsch ist.
Also das MISSISSIPPI-Problem lautet: Wie viele Wörter kann man aus dem Wort MISSISSIPPI bilden. Antwort: Die 11 Buchstaben lassen sich auf 11! Möglichkeiten anordnen. Da die vier S aber 4!-mal permnutiert werden können, ohne das ein neues Wort entsteht, teile ich 11! durch 4!. Analoge Überlegungen führen zu
[mm] \bruch{11!}{1!4!4!2!}
[/mm]
Man teilt also immer durch die Anzahl der Permutationen der ununterscheidbaren Elemente.
Analog wäre: Wie viele verschiedene Anordnung gibt es für 1110011001?
Antwort: 10!/(6!4!)
Analog zu diesem Beispiel habe ich das Monatsproblem als Tupel geschrieben:
x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x. Jetzt habe ich statt 1 und 0 halt x und | genommen. Die Anzahl der Möglichkeiten ist dann 23!/(12!11!), was übrigens 12 aus 23 ist.
Aber wie geht es jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das Problem ist, dass es sich bei deiner Modellierung nicht mehr um ein Laplace-Experiment handelt und man daher die Formel
Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle
nicht mehr anwenden kann.
Bei dir haben nicht alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Tatsache ist ja, dass man die Leute unterscheiden kann, du aber eine Modellierung wählst, wo man dies nicht könnte (was zu einem Nicht-Laplace-Experiment führt).
Liebe Grüße
Stefan
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