1.Ableitung sinx < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 15.01.2006 | | Autor: | moe-sn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe folgende Frage, wie komm ich auf die Herleitung, dass die erste Ableitung von sin x = cos x ist?
Ich weiß nur, dass es irgendwas mit der h-Funktion zu tun hat.
Wäre für schnelle und konstruktive antworten sehr verbunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 15.01.2006 | | Autor: | moe-sn |
@zwerglein, tut mir leid, aber die seite stellt mich noch nicht wirklich zufrieden, aber trotzdem schon mal danke .-)
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Hi, Moritz,
in dem von mir genannten Link steht aber der vollständige Beweis:
f(x) = sin(x)
f'(x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{sin(x+h)-sin(x)}{h}
[/mm]
Mit Additionstheorem sin(x) - sin(y) = [mm] 2*cos(\bruch{x+y}{2})*sin(\bruch{x-y}{2}) [/mm]
folgt für die Differenz im Zähler:
sin(x+h) - sin(x) = [mm] 2*cos(x+\bruch{h}{2})*sin(\bruch{h}{2}) [/mm]
Daher: f'(x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{2*cos(x+\bruch{h}{2})*sin(\bruch{h}{2})}{h}
[/mm]
Etwas umgestellt:
f'(x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} cos(x+\bruch{h}{2})*\bruch{sin(\bruch{h}{2})}{\bruch{h}{2}}
[/mm]
Hier geht nun für h [mm] \to [/mm] 0 der 1. Faktor gegen cos(x), der zweite Faktor gegen 1.
(Letzteres wird in diesem Link sogar nochmal extra bewiesen!) wird!)
Was fehlt Dir da noch?!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 18.01.2006 | | Autor: | moe-sn |
@zwerglein,
ich versteh nicht, warum im letzten schritt, also: lim cos(x+h/2) *sin(h/2) : (h/2)
warum da sin(h/2):(h/2) gleich eins wird???(h/2) ist doch null und der sinus von null ist doch auch null, oder nicht???
brauch bitte ganz dringend schnell eine antwort.
mit besten grüßen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Astrid |
hallo moe-sn
> @zwerglein,
> ich versteh nicht, warum im letzten schritt, also: lim
> cos(x+h/2) *sin(h/2) : (h/2)
>
> warum da sin(h/2):(h/2) gleich eins wird???(h/2) ist doch
> null und der sinus von null ist doch auch null, oder
> nicht???
Zwerglein schrieb ja bereits, dass genau das in dem Link bewiesen wird. Für kleine Werte von $x$ gilt nämlich: $x [mm] \approx \sin [/mm] x$.
Viele Grüße
Astrid
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http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Analysis:_Differentialrechnung:_Differentiation_der_Sinusfunktion![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
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