(1+Wurzel(2))^n was passiert ? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute!
Sitze an einer interessanten Aufgabe:
Soll (1+ [mm] \wurzel{2})^{n} [/mm] für n = 1 , ... , 20 betrachten und schauen was da bzgl. der Nachkommastellen passiert. Eine Vermutung formulieren und diese beweisen.
Also ich sehe, das die Nachkommastellen für n gerade immer größer werden und für n ungerade immer kleiner.
Irgendwann sind die Nachkommastellen dann weg und es stehen ganze Zahlen da, das ist schonmal meine Beobachtung.
Nur weiter weiß ich nicht!
Jemand ne Idee?
Wäre cool!
Dank für jede Anregung
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Betrachte die Zahlenfolgen [mm](a_n)_{n \geq 0}, \, (b_n)_{n \geq 0}[/mm] mit
[mm]a_n = \left( \sqrt{2} + 1 \right)^{2n+1} - \left( \sqrt{2} - 1 \right)^{2n+1}[/mm]
[mm]b_n = \left( \sqrt{2} + 1 \right)^{2n} + \left( \sqrt{2} - 1 \right)^{2n}[/mm]
Zeige, daß beide der Rekursionsvorschrift
[mm]a_{n+2} = 6a_{n+1} - a_n \ [/mm] bzw. [mm]\ b_{n+2} = 6b_{n+1} - b_n[/mm]
genügen. Da ferner [mm]a_0,b_0,a_1,b_1 \in \mathbb{N}[/mm] sind, folgt, daß alle Folgenglieder ganze Zahlen sind. Und jetzt beobachte den Einfluß von [mm]\left( \sqrt{2} - 1 \right)^k[/mm] für große [mm]k[/mm]. Beachte auch, daß für [mm]u = \sqrt{2}+1[/mm] gilt: [mm]u^{-1} = \sqrt{2} - 1[/mm]
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Hmmm,
Gut, das zeigen dürfte nicht so schwierig werden.
Frage mich allerdings, wie du gerade darauf gekommen bist, an und bn so zu wählen und warum sie beide der gleichen Rekursionsvorschrift folgen.
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Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück... ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
