0=0 < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Do 13.07.2006 | | Autor: | Miala |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass sich die Ebenen E1 und E2 in einer Gerade g2 schneiden und stellen Sie eine Geradengleichung zu g2 auf. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo miteinander!
Ich habe E1 und E2 gleichgesetzt und nach mehrmaligem Lösen des Gleichungssystems ist (auch mit unterschiedlichen Wegen) nach meiner Rechnung die Lösung 0=0.
Wie soll ich jetzt eine Geradengleichung finden? Mache ich etwas beim Lösen des Gleichungssystems falsch?
Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen!
Viele Grüße,
Miala
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Do 13.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Maria,
Wenn du die Ebenen angibst, kann dir geholfen werden
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 13.07.2006 | | Autor: | Miala |
Die Ebenen sind:
E1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{-2\\1\\0} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{-3\\0\\1}
[/mm]
E2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \vektor{1\\4\\-3} [/mm] + [mm] \delta [/mm] * [mm] \vektor{-1\\2\\3}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Do 13.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Um die Schnittgerade zu bestimmen, gibt es nänlich noch eine etwas einfachere und weniger fehleranfällige Methode.
Wenn du eine Ebene (Ich werde in meinem Ansatz [mm] E_{1} [/mm] nehmen) in die Normalenform umwandelst, kannst du die andere Ebene in diese einsetzen.
Wandeln wir mal [mm] E_{1} [/mm] in die Normalenform E. [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = d um.
Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der Richtungvektoren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also gilt
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] X [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Jetzt noch das d berechnen. Hierzu nimm das Skalarprodunkt aus [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{a}, [/mm] wobei [mm] \vec{a} [/mm] der Stützpunkt von [mm] E_{1} [/mm] ist.
Also
d = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 0
Also ist [mm] E_{1} [/mm] Normalenform [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 0
Jetzt kannst du die Parameterform von [mm] E_{2} [/mm] in die Normalenform von [mm] E_{1} [/mm] einsetzen.
Also [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{\gamma - \delta \\ 4 \gamma + 2 \delta \\ -3 \gamma + 3 \delta} [/mm] = 0
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] +8 [mm] \gamma [/mm] + 4 [mm] \delta [/mm] - 9 [mm] \gamma [/mm] + 9 [mm] \delta [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0.
das kann jetzt bedeuten, dass die Ebenen parallel oder sogar gleich sind.
Wenn du jetzt den Stützpunkt von [mm] E_{2} [/mm] in [mm] E_{1} [/mm] einsetzt, kannst du prüfen, ob sie gleich sind.
Gilt [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 0 ? Offenbar ja, also sind die Ebenen Gleich.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, Miala,
also: ich krieg nicht 0 = 0 raus (was ja - wie M.Rex richtig schreibt - bedeuten würde, dass die Ebenen identisch sind!)
Aber auch M.Rex hat sich bei seiner Rechnung vertan:
Aus
[mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] + [mm] 8\gamma [/mm] + [mm] 4\delta [/mm] - [mm] 9\gamma [/mm] + [mm] 9\delta [/mm] = 0
folgt NICHT
0=0
sondern: [mm] 12\delta [/mm] = 0, also [mm] \delta=0
[/mm]
woraus man durch Einsetzen in E2 die Schnittgerade erhält, nämlich:
g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
(wobei man - da der Ursprung der Aufpunkt ist - genau wie bei den beiden Ebenen [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] auch weglassen könnte!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Fr 14.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hast recht, ich hab mich verrechnet.
(ich sollte weniger in der Nacht arbeiten...)
Marius
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