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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Xnyzer |
| Aufgabe | 1) [mm] \wedge [/mm] _ [mm] (n^{3}-n [/mm] ist durch 6 teilbar)
n [mm] \in \IN
[/mm]
2) [mm] \wedge [/mm] _ [mm] (2n^{2}+3n^{2}+7n [/mm] ist durch 6 teilbar)
n [mm] \in \IN
[/mm]
3) [mm] \wedge [/mm] _ [mm] (11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] ist durch 133 teilbar)
n [mm] \in \IN [/mm] |
Hey,
kann mir irgendwie jemand helfen?
Ich habe diese Aufgaben als Hausaufgabe bekommen, aber habe nicht mal einen Ansatz. Ich weiß echt nicht wie ich das lösen soll.
(Der _ in der Aufgabe dient nur als Platzhalter.)
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Hallo Xnyzer!
> 1) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](n^{3}-n[/mm] ist durch 6 teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> 2) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](2n^{2}+3n^{2}+7n[/mm] ist durch 6
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> 3) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](11^{n+2}+12{2n+1}[/mm] ist durch 133
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Hey,
> kann mir irgendwie jemand helfen?
> Ich habe diese Aufgaben als Hausaufgabe bekommen, aber
> habe nicht mal einen Ansatz. Ich weiß echt nicht wie ich
> das lösen soll.
>
> (Der _ in der Aufgabe dient nur als Platzhalter.)
Aber was willst du mit dem [mm] "\wedge" [/mm] da? Das verstehe ich nicht. Aber ich vermute, du sollst obige Aussagen beweisen.
Leider habe ich noch keine Lösung gefunden, aber Ansätze für die ersten beiden Aufgaben. Wann ist deine Zahl durch 6 teilbar? Genau dann, wenn sie durch zwei oder durch drei teilbar ist. Und durch zwei teilbar ist sie, wenn sie eine gerade Zahl ist. Betrachte dazu am besten, was passiert, wenn du eine beliebige gerade Zahl für n einsetzt, ist dann [mm] n^3 [/mm] gerade oder ungerade? Und wenn du diese Zahl dann noch subtrahierst, ist es dann gerade oder ungerade? Und das gleiche machst du noch für eine beliebige ungerade Zahl. Da kommt dann beide Male raus, dass es am Ende eine gerade Zahl ist, womit gezeigt ist, dass die Zahl durch zwei teilbar ist. Mit der durch drei Teilbarkeit weiß ich leider gerade auch nicht weiter, sorry.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> 1) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](n^{3}-n[/mm] ist durch 6 teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> 2) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](2n^{2}+3n^{2}+7n[/mm] ist durch 6
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> 3) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](11^{n+2}+12^{2n+1})[/mm] ist durch 133
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
was [mm]\wedge[/mm] _ soll, verstehe ich ebenso wie Bastiane nicht.
Abgesehen davon:
die 1) kann man recht flink per vollständige Induktion beweisen.
die 2) stimmt [mm] nicht:2*2^{2}+3*2^{2}+7*2=34, [/mm] und das ist mitnichten durch 6 teilbar.
die 3) ebenfalls mit vollständiger Induktion.
Gruß v. Angela
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Hallo Xnyzer,
> 1) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](n^{3}-n[/mm] ist durch 6 teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
du willst wohl sagen: [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N$ gilt:[mm](n^{3}-n[/mm] ist durch 6 teilbar)
Den Rest hat Angela schon beantwortet.
Kannst du mit vollständiger  Induktion umgehen?
> 2) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](2n^{2}+3n^{2}+7n[/mm] ist durch 6
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> 3) [mm]\wedge[/mm] _ [mm](11^{n+2}+12^{2n+1}[/mm] ist durch 133
> teilbar)
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Hey,
> kann mir irgendwie jemand helfen?
> Ich habe diese Aufgaben als Hausaufgabe bekommen, aber
> habe nicht mal einen Ansatz. Ich weiß echt nicht wie ich
> das lösen soll.
>
> (Der _ in der Aufgabe dient nur als Platzhalter.)
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 21.11.2006 | | Autor: | Xnyzer |
Eigentlich weiß ich was die vollständige Induktion ist, aber ich kann damit irgendwie bei den Aufgaben nicht so viel anfangen. Schließlich brauche ich ja ne Gleichung, um das zu beweisen und ich sehe da keine Gelichung.
Könnt ihr mir vielleicht eine vorrechnen oder den Anfang dazu?
Danke!
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> Schließlich brauche ich ja ne Gleichung, um
> das zu beweisen und ich sehe da keine Gelichung.
>
Hallo,
"...ist durch 6 teilbar" kannst Du so als Gleichung schreiben: es gibt ein t [mm] \in \IZ [/mm] mit ...=6t.
Alles klar?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 23.11.2006 | | Autor: | Xnyzer |
eigentlich nicht..
also theoretisch ja, aber praktisch weniger.
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Hallo.
Ich rechen mal die 3. Aufgabe vor:
[mm] 11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] ist durch 133 teilbar
Also durch Induktion:
Induktionsvoraussetzung: [mm] 11^{n+2}+12^{2n+1} [/mm] ist durch 133 teilbar
Induktionsanfang: n=1
[mm] 11^{3}+12{3}=3059 [/mm] ist durch 133 teilbar
Induktionsschluss: n-->n+1
[mm] 11^{(n+1)+2}+12^{2(n+1)+1}=11^{n+3}+12^{2n+3}
[/mm]
[mm] 11^{1}*11^{n+2}*12^{2}*12^{2n+1}
[/mm]
133* [mm] (11^{n+2}+12^{2n+1})
[/mm]
Der letzte Faktor ist nach Induktionsvoraussetzung immer durch 133 teilbar und die 133 sowieso.
Induktion erfolgreich.
Die anderen gehen analog.
Tschüß
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:16 Do 23.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
In den letzten Zeilen ist ein Fehler,
es gilt: [mm] 11*11^{n+2}+144*12^{2n+1}= 11*11^{n+2}+11*12^{2n+1}+133*12^{2n+1}=11*(11^{n+2}+12^{2n+1})+133*12^{2n+1}
[/mm]
und jetzt 1. Summand nach Ind. vors ddurch 133 tb, 2. sowieso.
Zu 1) geht auch ohne Induktion:
Fallunterscheidung: a) n durch 6 tb fertig
b) n gerade, lässt bie Division Rest 1 oder 2, dann lässt [mm] n^2 [/mm] Rest [mm] 1^2 [/mm] oder Rest [mm] 2^2=4 [/mm] also immer Rest 1 also ist [mm] n^2-1 [/mm] durch 3 tb.
c) n ug, durch 3 tb. [mm] (n^2-1) [/mm] gerade, also Produkt durch 6 tb.
d) n ug, lässt Rest 2 bei Division durch 3 dann [mm] n^2-1 [/mm] durch 2 und 3 tb siehe b)
Fertig.
so ähnlich geht sicher auch Fall b)wenn du erst die richtige Gl. hinschreibst. weil
es für n immer nur die Fälle wie in a gibt. (c und d kann man auch zusammenfassen)
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:30 Do 23.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
DANKE DANKE.
TUT mir echt leid.
Aber kann passieren, habe zu schnell, das hingeschrieben, hatte die Aufgabe vor wenigen Monaten gerechnet und jetzt nur schnell aus den Kopf hingeschrieben.
Danke und entschuldigung nochmal.
Machts gut
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