|f| messbar => f messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IR\to \IR [/mm] eine Funktion, so dass $x [mm] \mapsto [/mm] |f(x)|$ [mm] (B(\IR),B(\IR))-messbar [/mm] ist. Folgt hieraus, dass f [mm] $(B(\IR),B(\IR))$-messbar [/mm] ist? Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Ich sage nein. Dazu betrachte ich
[mm] f(x)=\begin{cases}
1 &x \text{ rational} \\ -1 &x\text{ irrational}
\end{cases}
[/mm]
Dann ist |f|=1 stetig auf [mm] \IR [/mm] und somit auch messbar. Aber f ist nicht messbar, denn f ist nicht stetig und es gilt z.B.
[mm] f^{-1}(]0,2[)=\IQ \notin B(\IR)
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Fr 16.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Es sei f: [mm]\IR\to \IR[/mm] eine Funktion, so dass [mm]x \mapsto |f(x)|[/mm]
> [mm](B(\IR),B(\IR))-messbar[/mm] ist. Folgt hieraus, dass f
> [mm](B(\IR),B(\IR))[/mm]-messbar ist? Beweisen Sie Ihre Antwort.
> Ich sage nein. Dazu betrachte ich
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}
1 &x \text{ rational} \\ -1 &x\text{ irrational}
\end{cases}[/mm]
>
> Dann ist |f|=1 stetig auf [mm]\IR[/mm] und somit auch messbar. Aber
> f ist nicht messbar, denn f ist nicht stetig und es gilt
> z.B.
>
> [mm]f^{-1}(]0,2[)=\IQ \notin B(\IR)[/mm]
warum sollte [mm] $\mathbb{Q} \not\in B(\mathbb{R})$ [/mm] sein? einelemtige mengen sind doch messbar und abzählbare vereinigungen davon auch.
aber die idee geht dahingehend in die richtige richtung, dass du nach einer nicht messbaren menge suchen solltest, und dann solch eine funktion wie oben definieren kannst. kennst du denn nicht-messbare mengen?
grüße
andreas
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Vielen Dank! Du hast natürlich recht. Aber ich weiß, dass
es nicht-messbare Mengen (nenne sie A) gibt. Diese sind
schwer zu konstruieren (siehe Conatorfunktion). Aber man kann ja dieses A benutzen, um das f zu definieren:
f(x)=1 für x aus A und f(x)=-1 sonst. Fertig...
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