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Möbiustransformation: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Mi 18.01.2017
Autor: riju

Aufgabe
Gegeben ist folgende Abbildung [mm] w=\bruch{j-z}{1+z} [/mm]
mit folgenden Kurven
a) [mm] x=0 [/mm] b) [mm] y=0 [/mm] c) [mm] x^2+y^2=1 [/mm]

Gesucht:
Funktionstyp?
Wie wirkt Funktion (Drehung, Streckung)?
Welche Kurven (Geraden, Kreise) werden auf welche Kurven abgebildet?
Berechnung des Bildes geeignet gewählter Punkte
Schlußfolgerung
Bestimmung der Gleichung der Bildkurve

Hallo, ich komme mit a) und b) nicht klar.

Erstmal zu a)
Funktionstyp: ?
Wie wirkt Funktion (Drehung, Streckung): ? Woran erkenne ich das?
Welche Kurven (Geraden, Kreise) werden auf welche Kurven abgebildet: [mm] x=0 [/mm] ist ein Kreis mit unendlichem Radius und wird auf einen Kreis abgebildet
Berechnung des Bildes geeignet gewählter Punkte:
[mm] z_1=-j \to w_1=-1+j [/mm]
[mm] z_2=0 \to w_2=j [/mm]
[mm] z_3=j \to w_1=0 [/mm]
Außerdem habe ich noch [mm] z_n \to \infty: \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{j-z_n}{1+z_n}=-1 [/mm] errechnet. Diese Punkte ergeben für mich aber irgendwie keinen Kreis.
Schlußfolgerung:?
Gleichung der Bildkurve: Weiß ich nicht?

zu b)
Hier wollte ich auch 3 Punkte wählen und das dazugehörige [mm] w [/mm] berechnen. Aber was ist denn mit [mm] z=-1 [/mm]? dafür ist doch die Abbildung nicht definiert oder sehe ich das falsch?

zu c)
Da lautet meine Gleichung der Bildkurve: [mm](u+\bruch{1}{2})^2+(v-\bruch{1}{2})^2=\bruch{1}{2}[/mm]
Ist das richtig?

Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
riju


        
Bezug
Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Mi 18.01.2017
Autor: leduart

Hallo
zu b)  Bild von y=0  also x- Achse Wenn Geraden in Geraden gehen wie die x- Achse, dann muss ja auch was gegen [mm] \infty [/mm] gehen , hier der Punkt (1,0) nach [mm] \infty, [/mm] dadurch weisst du, dass es eine Gerade ist. 2 weitere Punkte also x=0 und x=2 etwa geben dir die Gerade. geht
da auch der Kreis [mm] x^2+y^2=1 [/mm] durch x=-1 geht, muss also auch der in eine Gerade geben, da der Kreis auch durch j geht, geht die Gerade durch 0 ein weiterer Punkt und du hast sie
dein GW gegen [mm] \infty [/mm] liefert dir einen weiteren Punkt auf dem Kreis. do sollst allerdings eher y und nicht z->inftym das macht nicht viel Sinn,
der Kreis , den du hingeschrieben hast ist beinahe der Kreis, der aus der y Achse entsteht, nur der Radius ist falsch ,oder du hast statt [mm] r^2 [/mm] r geschrieben.
die Funktion bildet Geraden auf Kreise oder Geraden ab und umgekehrt.
durch 3 Punkte ist ein Kreis eindeutig festgelegt also kannst du ihn leicht finden , am Schnellsten durch zeichnen,
du kannst leicht sehen, welche Kreise in Geraden gehen wenn du an x=-1 denkst ebenso  welche Geraden wieder in Geraden gehen. der Rest wird zu Kreisen.
Gruß ledum
Gruß leduart


Bezug
                
Bezug
Möbiustransformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Do 19.01.2017
Autor: riju


> Hallo
>  zu b)  Bild von y=0  also x- Achse Wenn Geraden in Geraden
> gehen wie die x- Achse, dann muss ja auch was gegen [mm]\infty[/mm]
> gehen , hier der Punkt (1,0) nach [mm]\infty,[/mm] dadurch weisst
> du, dass es eine Gerade ist. 2 weitere Punkte also x=0 und
> x=2 etwa geben dir die Gerade. geht
> da auch der Kreis [mm]x^2+y^2=1[/mm] durch x=-1 geht, muss also auch
> der in eine Gerade geben, da der Kreis auch durch j geht,
> geht die Gerade durch 0 ein weiterer Punkt und du hast sie
> dein GW gegen [mm]\infty[/mm] liefert dir einen weiteren Punkt auf
> dem Kreis. do sollst allerdings eher y und nicht z->inftym
> das macht nicht viel Sinn,
>  der Kreis , den du hingeschrieben hast ist beinahe der
> Kreis, der aus der y Achse entsteht, nur der Radius ist
> falsch ,oder du hast statt [mm]r^2[/mm] r geschrieben.
>  die Funktion bildet Geraden auf Kreise oder Geraden ab und
> umgekehrt.
>  durch 3 Punkte ist ein Kreis eindeutig festgelegt also
> kannst du ihn leicht finden , am Schnellsten durch
> zeichnen,
>   du kannst leicht sehen, welche Kreise in Geraden gehen
> wenn du an x=-1 denkst ebenso  welche Geraden wieder in
> Geraden gehen. der Rest wird zu Kreisen.
>  Gruß ledum
>  Gruß leduart
>    

Also habe ich das richtig verstanden:
Wenn die Kurve durch den Punkt geht, an dem w nicht definiert ist, geht die Kurve in eine Gerade über?

Wo liegt bei a) [mm] x=0 [/mm] mein Fehler?

Vielen Dank
riju

Bezug
                        
Bezug
Möbiustransformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Do 19.01.2017
Autor: leduart

Hallo
dein Fehler
z=-j wird auf 1+j nicht -1+j abgebildet
nicht jede Kurve sondern Kreise und Geraden, die durch den Punkt gehen für den |w|-> [mm] \infty [/mm] geht werden zu geraden,
das typische Verhalten einer Möbiustransformation kann man am besten an 1/z sehen, der Rest ist dann nur noch Verschiebung und Drehung.
Gruß leduart


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