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Forum "stochastische Analysis" - Konvergenz
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Konvergenz: in Verteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mo 20.01.2014
Autor: Milaa

Hallo an alle,

[mm] F_(X_n) =\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ < (1/2) -(1/n)} \\ (x-\left( \bruch{1}{2} \right)+\left( \bruch{1}{n} \right))/\left( \bruch{2}{n} \right), & \mbox{wenn } \mbox{1/2 -1/n <= x <= 1/2 +1/n} \\ 1, & \mbox{wenn}x\mbox{>1/2 +1/n} \end{matrix}\right. [/mm]

So und X = 1/2

Also [mm] F_X= =\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{wenn }x\mbox{< 1/2} \\ 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ >= 1/2} \end{matrix}\right. [/mm]

Was passiert wenn ich [mm] \lim_{n \to \infty}F_(X_n) laufen [/mm] lasse?
Etwa :

[mm] F_(X_n) =\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ < (1/2) } \\ (\left( \bruch{1}{2} \right) - \left( \bruch{1}{2} \right)+0)/ (\left( \bruch{2}{n}=0) \right), & \mbox{wenn } \mbox{1/2 <= x <= 1/2 } \\ 1, & \mbox{wenn}x\mbox{>1/2} \end{matrix}\right. [/mm]

Würde mich auf eure Hilfe freuen.

Liebe Grüße
Milaa

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Mo 20.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Ich verstehe nicht genau um was es dir geht.
Falls bei der Grenzwertbildung der Fall [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] auftritt,
kannst du es mit L'Hospital verarzten.

Das brauchst du aber (hier), so glaube ich zumindest, nicht.

Geht es dir um die Berechnung des folgenden Grenzwertes?

      [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}} [/mm]

Es gilt:

      [mm] \frac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{nx}{2}-\frac{n}{4}+\frac{1}{2} [/mm]

Für [mm] $x:=\frac{1}{2}$ [/mm] gilt:

      [mm] \frac{n*\frac{1}{2}}{2}-\frac{n}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} [/mm]


Ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet.
Vielleicht habe ich dich auch komplett missverstanden.


Gruß
DieAcht

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Konvergenz: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Mo 20.01.2014
Autor: Milaa

Hallo,

also meine Zufallsvariable [mm] X_n [/mm] ist stetig Gleichverteilt auf [1/2 -1/n, 1/2+1/n]
und die Zufallsvariable X = 1/2
Ich wollte nur zeigen das [mm] X_n [/mm] in Verteilung gegen X konvergiert (für n -> unendlich) und deswegen habe ich die Verteilungsfunktionen jeweils erst bestimmt und dann versucht den Grenzwert zu bestimmen.


Liebe Grüße
Milaa

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Mo 20.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,

Ist damit deine Frage geklärt?

Gruß
DieAcht

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Mo 20.01.2014
Autor: Milaa

Hallo,

leider nicht weil ich habe ja nicht gezeigt dass [mm] F_(X_n) [/mm] für n-> unendlich = [mm] F_X [/mm] ist. Dafür müsste ich doch sagen was $ [mm] \frac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{nx}{2}-\frac{n}{4}+\frac{1}{2} [/mm] $ deren Grenzwert ist und in welchem Intervall.

Also erstmal ohne Betrachtung x:= 1/2.

Liebe Grüße
Milaa

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Mo 20.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> leider nicht weil ich habe ja nicht gezeigt dass [mm]F_(X_n)[/mm] für n-> unendlich = [mm]F_X[/mm] ist.

Das wird es auch nicht werden.

> Dafür müsste ich doch sagen was [mm]\frac{x-\frac{1}{2}+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{nx}{2}-\frac{n}{4}+\frac{1}{2}[/mm] deren Grenzwert ist und in welchem Intervall.

> Also erstmal ohne Betrachtung x:= 1/2.

Das macht keinen Sinn. Schau dir das Intervall mal genau an. Was kommt denn da als Grenzwert raus? Welche Stelle ist also die einzige, die darin enthalten bleibt? Welchen Wert F da dann hat, wurde dir bereits vorgerechnet.

Gruß,
Gono.

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Mo 20.01.2014
Autor: Milaa

Hallo,

ja ich weis schon was du meinst aber meine Aufgabenstellung lautet Zeige dass [mm] X_n [/mm] in Verteilung gegen X konvergiert. ? :S

Liebe Grüße
Milaa

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Di 21.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ja ich weis schon was du meinst aber meine Aufgabenstellung lautet Zeige dass [mm]X_n[/mm] in Verteilung gegen X konvergiert. ?

ja, das stimmt ja auch.
Schau mal in die Definition, wann [mm] X_n [/mm] gegen X in Verteilung konvergiert.

Gruß,
Gono.

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:14 Di 21.01.2014
Autor: Milaa

Hey,

meinst du etwa den Teil : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} F_(X_n) [/mm] = [mm] F_X [/mm] an alle Stellen x [mm] \in \IR [/mm] an denen F stetig ist. Und da F an der Stelle 1/2 unstetig ist konvergiert sie außer an der Stelle x= 1/2 in Verteilung gegen X.

Liebe Grüße
Milaa

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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:28 Di 21.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> meinst du etwa den Teil : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} F_(X_n)[/mm]
> = [mm]F_X[/mm] an alle Stellen x [mm]\in \IR[/mm] an denen F stetig ist. Und  da F an der Stelle 1/2 unstetig ist konvergiert sie außer an der Stelle x= 1/2 in Verteilung gegen X.

du wuselst hier Begrifflichkeiten durcheinander.

[mm] F_{X_n} [/mm] konvergiert an allen Stellen außer 1/2 gegen [mm] $F_X$. [/mm]
Da [mm] F_X [/mm] an 1/2 unstetig ist, interessiert die Stelle aber nicht, und [mm] X_n [/mm] konvergiert in Verteilung gegen X.

[mm] F_{X_n} [/mm] kann in Verteilung nirgendwohin konvergieren. "In Verteilung" ist immer eine Konvergenz von Zufallsvariablen, nicht von Verteilungsfunktionen.

Gruß,
Gono.


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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:35 Di 21.01.2014
Autor: Milaa

Vielen Dank Gono habe es nun verstanden.

Liebe Grüße
Milaa

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