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Analysis I/II Vorkurs-Übungsaufgaben www.matheraum.de
Analysis
Aufgabenblatt 5
Abgabe: Di 20.03.2012 15:00		13.03.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Inhaltsverzeichnis bzw. den Skriptverweis in der Kursbeschreibung. Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie bequem in einer Woche gelöst werden können.
Aufgabe 1
V-1: a) Sei a>0. Berechnen Sie den Grenzwert für n $ ->\infty $ von $ a_{n}=\bruch{a^{2n}}{1+a^{2n+1}} $
b) Sei $ (a_{n})_{ n\ge 1} $ eine reelle oder komplexe Nullfolge. Zeigen Sie, dass dann auch $ (\wurzel[k]{|a_{n}|})_{n\ge 1} $ mit festem $ k\in \IN $ eine Nullfolge ist.
Aufgabe 2
V-2: a) Es besitzt die Folge $ (a_{n})_{n\ge 1} $ mit $ a_{n}=\wurzel{n+1} $ - $ \wurzel{n} $ eine Teilfolge $ (a_{n_{k}})_{k\ge 1}, $ die mit der Folge $ ((\wurzel{2}-1)^{k})_{k\ge 1} $  übereinstimmt. Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder! (Hinweis: Berechnen Sie für k=1 bis k=5 die Glieder der letztgenannten Folge und ermitteln Sie, für welche n diese mit $ a_{n} $ übereinstimmen.)
b) Bestimmen Sie lim $ inf_{n->\infty} $ und lim $ sup_{n->\infty} $ für $ b_{n}=(1+(-1)^{n})(-1)^{\bruch{n(n+1)}{2} }. $
Aufgabe 3
V-3: Zeigen Sie die Konvergenz und bestimmen Sie die Summen der folgenden Reihen: (Hinweis: Teleskopsummen)

a) $ \bruch{1}{1\cdot{}2} $ + $ \bruch{1}{2\cdot{}3} $ + $ \bruch{1}{3\cdot{}4} $ ...
b) $ \bruch{1}{1\cdot{}3} $ + $ \bruch{1}{2\cdot{}4} $ + $ \bruch{1}{3\cdot{}5} $ ...
c) $ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3n^{2}+3n+1}{n^{3}(n+1)^{3}} $
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