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Analysis I/II Vorkurs-Übungsaufgaben www.matheraum.de
Analysis
Aufgabenblatt 4
Abgabe: Mo 05.03.2012 10:00		27.02.2012
Die Übungsaufgaben beziehen sich auf das Inhaltsverzeichnis bzw. den Skriptverweis in der Kursbeschreibung. Die Aufgaben sind so angelegt, dass sie bequem in einer Woche gelöst werden können.
Für diese Aufgaben sollten Sie mit folgenden Begriffen vertraut sein: Polynom, Komplexe Einheitswurzeln, Linearfaktoren, Folgen, Grenzwert, Grenzwertsätze, Epsilon-n_0-Abschätzung, Konvergenz.
Aufgabe 1
IV-1: a) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung  $ (z-3i)^{6} $ + 64 = 0.
b) Sei $ P(z)=z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}+4z. $  Zerlegen Sie P in Linearfaktoren und berechnen Sie P(1+i).
Aufgabe 2
IV-2: Zeigen Sie die Konvergenz folgender Zahlenfolgen $ (a_n)_{n\ge n_{0} } $ gegen einen Grenzwert a durch $ (\epsilon,n_{0})-Abschaetzung, $ d.h. Bestimmen Sie $ \forall \epsilon $ >0 ein $ n_{0}=n_{0}(\epsilon), $ sodass $ |a-a_{n}| \le \epsilon $ für alle  n $ \ge n_{0}. $
(a) $ a_{n}=\bruch{n^{2}}{n^{2}+2n+2} $
(b) $ a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{10} $
Aufgabe 3
IV-3: a) Untersuchen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie evtl. den Grenzwert:  (i)  $ a_{n} $ = $ \wurzel[n]{n} $     sowie    (ii)  die rekursiv def. Folge mit  $ a_{1}=\wurzel{2} $ und  $ a_{n+1}=\wurzel{2+a_{n}}. $
b) Bestimmen Sie den Grenzwert: $ \limes_{n\rightarrow\infty} $ { $ \bruch{1}{n^{2}}+\bruch{2}{n^{2}}+...+\bruch{n}{n^{2}} $ }
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