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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:55 Di 09.02.2010 | | Autor: | schpezialist |
| Aufgabe | Approximation in einer Umgebung [mm] x_{0}
[/mm]
... Setze
[mm] T_{1,x0}(x)=a_{0}+a_{1}*(x-x_{0})
[/mm]
[mm] T_{2,x0}(x)=a_{0}+a_{1}*(x-x_{0})+a_{2}*(x-x_{0})^{2}
[/mm]
[mm] T_{3,x0}(x)=a_{0}+a_{1}*(x-x_{0})+a_{2}*(x-x_{0})^{2}+a_{3}*(x-x_{0})^{3} [/mm] usw
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Hallo leute!
Ich habe folgende Frage bezüglich Taylor: bei der herleitung der Koeffizienten für taylorpolynome um x=0 formulierte man ein Taylorpolynom ersten grades als
[mm] T_{1,0}(x)=a_{0}+a_{1}*x
[/mm]
[mm] T_{2,0}(x)=a_{0}+a_{1}*x+a_{2}*x^{2} [/mm] usw. Dann setzte man halt
[mm] T_{1,0}=f(0) [/mm] sowie [mm] T_{1,0}'=f'(0) [/mm] usw und konnte also anschließend eine Aussage üebr die koeffizienten machen.
naja meine frage ist einfach: wie kommt für beliebigen entwicklungspunkt diese andere schreibweise der taylorpolynome zustande? wieso lautet es plötzlich
[mm] T_{1,x0}(x)=a_{0}+a_{1}*(x-x_{0}) [/mm] ?
Ich danke für jede Antwort :P
Grüße Stephan
PS Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Di 09.02.2010 | | Autor: | karma |
Sei [mm] $x_{0}=0$.
[/mm]
Dann schreibt man
für
[mm] $(x-x_{0})$
[/mm]
statt
$( x - 0 )$
kürzer
$x$.
Schönen Gruß
Karsten
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hallo karma!
danke für deine antwort :P
nur beantwrotet sie mir meine frage noch nicht so ganz : mir war schon klar, dass, wenn man 0 einsetzt, aus (x-0) ein x wird.
meine frage aber war eher, wieso man das taylorpolynom überhaupt als
[mm] T_{2,x0}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2} [/mm] setzt - wieso reicht nicht einfach eine "normale" polynomdarstellung in form von
[mm] T_{2,x0}(x)=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}{}x_{0}^{2} [/mm] ?
sry falls meine frage unverständlich gestellt ist :P ich hoffe jemand versteht was ich meine
grüße
stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Stephan,
> danke für deine antwort :P
> nur beantwrotet sie mir meine frage noch nicht so ganz :
> mir war schon klar, dass, wenn man 0 einsetzt, aus (x-0)
> ein x wird.
> meine frage aber war eher, wieso man das taylorpolynom
> überhaupt als
> [mm]T_{2,x0}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}[/mm] setzt -
> wieso reicht nicht einfach eine "normale"
> polynomdarstellung in form von
> [mm]T_{2,x0}(x)=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}{}x_{0}^{2}[/mm] ?
so geht das gar nicht, weil [mm] x_0=0 [/mm] gesetzt werden kann, aber nicht x=0! Es heißt ja außerdem [mm] x-\red{a} [/mm] mit der Entwicklungsstelle [mm] \red{a}=x_0=0 [/mm] - das ist nur ein Sonderfall.
LG
Herby
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