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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Fr 24.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich habe eine Frage bezüglich stetiger Funktionen bzw. bijektiver Abbildungen.
Ist ein Bijektive Abbildung immer stetig?
Und zwar geht es darum, dass man die Abzhälbarkeit einer Menge mit Hilfe einer Bijektion zeigen kann.
Wenn man jetzt für die ganzen Zahlen sich eine Funktion abschnittsweise definiert die wie folgt aussieht:
f: [mm] \IN \to \IZ [/mm]
mit f:= (0 für n = 1; n/2 für n ist gerade; (-n+1)/2 für n ungerade) dann hab ich eine bijektive Abbildung von den natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen.
Meine Frage ist jetzt, ist diese Abbildung stetig?
Mir ist klar, wenn ich in [mm] \IR [/mm] wäre, wäre diese Funktion sicher nicht stetig, aber wie sieht es eben aus, wenn ich mich zwischen den natürlichen und ganzen Zahlen bewege aus?
Vielen Dank!!
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> Hallo!
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> Ich habe eine Frage bezüglich stetiger Funktionen bzw.
> bijektiver Abbildungen.
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> Ist ein Bijektive Abbildung immer stetig?
Nein: Gegenbeispiel
[mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit $f(x) = [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{ für } x=1 \\ 1 & \mbox{ für } x=0 \\ x & \mbox{ sonst}\end{cases}$
[/mm]
Also die Funktion, die 0 und 1 vertauscht ist nicht stetig aber bijektiv.
> f: [mm]\IN \to \IZ[/mm]
>
> mit f:= (0 für n = 1; n/2 für n ist gerade; (-n+1)/2 für
> n ungerade) dann hab ich eine bijektive Abbildung von den
> natürlichen Zahlen in die ganzen Zahlen.
>
> Meine Frage ist jetzt, ist diese Abbildung stetig?
Die Stetigkeit hängt von den Topologien der Definitions- und der Wertemenge ab. D. h. davon, welche Mengen als offen angesehen werden.
Für [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] wird "gewöhnlich" mit der diskreten Topologie gearbeitet, d. h. alle Teilmengen sind offen. Unter dieser Voraussetzung sind aber alle Funktionen stetig, die Betrachtung der Stetigkeit ist also uninteressant.
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