stetig=>total diffb=>... ? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgende Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Ist folgende Argumentation für eine Funktion f vom [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR [/mm] richtig?
f ist stetig => f ist total differenzierbar => alle Richtungsableitungen von f existieren?
Danke für eine kurze Antwort schonmal =)
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In Forster steht schonmal:
stetig partiell differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] (total) differenzierbar [mm] \Rightarrow [/mm] partiell differenzierbar
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Hallo, ich glaube nicht, schau dir mal folgendes gegenbeispiel an:
f(x) =|x| hat ja an der stelle x=0 einen "Knick". Die funktion ist an dieser Stelle stetig , aber nicht differenzierbar...
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Es geht hier ja darum, ob
1. aus stetigkeit erstmal totale differenzierbarkeit folgt?
2. aus totaler differenzierbarkeit folgt, dass alle Richtungsableitungen existieren? (das sind aber nicht die partiellen ableitungen!). richtungsableitung ist quasi eine verallgemeinerung der partiellen ableitungen in jede beliebige richtung (gegeben durch einen vektor v). und für |x| existieren alle richtungsableitungen. die eine richtung ist recht, die andere links, somit ergibt sich einmal 1 und einmal -1. einfach mal kurz bei wikipedia vorbeischauen.
für eine neue antwort wäre ich dankbar :)
also nach meiner logischen anschauung der analysis, müsste das so richtig sein, aber ich wollte gerne eine bestätigung oder widerlegung haben ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 So 01.06.2008 | | Autor: | SEcki |
> 1. aus stetigkeit erstmal totale differenzierbarkeit
> folgt?
Nein. (Siehe Antwort oben für Gegenbeispiel, oder wenn du es härter haben willst [m]x\mapsto \sqrt{||x||}[/m])
> 2. aus totaler differenzierbarkeit folgt, dass alle
> Richtungsableitungen existieren?
Ja. (Beweis genauso wie für die partiellen Ableitungen.)
> also nach meiner logischen anschauung der analysis, müsste
> das so richtig sein,
Aha. Dann wäre es auch ganz gut, wenn du uns mitteilst, warum das gelten sollte - denn dann kann man herausfinden, wo du falsch liegst bzw. wo der Haken bei deiner Argumentation ist.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 01.06.2008 | | Autor: | JustSmile |
Danke erstmal euch allen und dem letzten Beitrag! Ich habe gerade noch einmal darüber nachgedacht und festgestellt, dass ich das ganze vertauscht habe! aus totaler differenzierbarkeit folgt stetigkeit müsste gelten, als analogie zu funktionen von R nach R wo ebend aus diffbar auch stetig folgt. Mein Fehler - entschuldigt! Aber immerhin gilt das zweite ja^^ Jetzt muss ich mir dann bei meiner Aufgabe nochmal etwas Gedanken machen, da ich jetzt hiervon ausgegangen war...
Schönen Sonntag noch!
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