p-adische Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
Kannst du mir bitte deine Aussage
Dass jede p-adische Zahl eindeutig darstellbar ist als Produkt einer p-Potenz, einer ganzen Zahl aus {1, ..., p-1} und einer 1-Einheit...
beweisen, aber bitte so, dass man sie auch als Nicht-Algebraiker versteht, also elementar?
Vielen Dank im Voraus. 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
um Aussagen über p-adische Zahlen zu machen, ist es erstmal erforderlich, die p-adischen Zahlen selbst zu haben. Es gibt drei wesentlich verschiedene Wege, sie einzuführen.
Den Weg über die formalen Laurentreihen hab ich schon an anderer Stelle genannt. Da sind die nötigen Überträge die Hauptschwierigkeit bei der Definition der Rechenregeln.
Dann geht es durch Definition des so genannten p-adischen Betrags auf Q und Vervollständigung dieses metrischen Raumes zu einem neuen Körper. Das funktioniert analog zur Konstruktion der reellen Zahlen aus Q. Das ist der heute übliche (analytische) Weg, da er auch in einem allgemeineren Rahmen noch funktioniert.
Und es ist möglich, die p-adischen ganzen Zahlen [mm] $Z_p$ [/mm] als so genannten projektiven Limes der Restklassenringe [mm] $Z/p^k [/mm] Z$ einzuführen, und [mm] $Q_p$ [/mm] als Quotientenkörper dieses Ringes. Dieser Weg funktioniert ebenfalls sehr allgemein, und ist eine rein algebraische Konstruktion.
Mir persönlich gefällt die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich eines p-adischen Betrags am besten, also schlage ich vor, dass wir diesen Weg gehen.
Eine kurze Einführung ist wie schon gesagt hier nachzulesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/p-adische_Zahl
Im folgenden sei p eine beliebige, fest gewählte Primzahl.
Jede von 0 verschiedene rationale Zahl x können wir eindeutig schreiben als Produkt einer p-Potenz und einer rationalen Zahl, deren Zähler und Nenner zu p teilerfremd sind (wir klammern einfach die größte p-Potenz in Zähler und Nenner aus):
$x = [mm] p^{v_p(x)} [/mm] u$, mit einer ganzen Zahl [mm] v_p(x) [/mm] und einer rationalen Zahl u.
Die Bedeutung dieses [mm] v_p(x) [/mm] ist für ganze Zahlen x aus der Schule bekannt:
Bilden wir diese Zahlen für alle Primzahlen q, dann ist
$x = [mm] (\pm [/mm] 1) [mm] 2^{v_2(x)} 3^{v_3(x)} 5^{v_5(x)} \cdots q^{v_q(x)} \cdots$
[/mm]
Dieses Produkt ist gerade die Primfaktorzerlegung von x.
[mm] v_p(x) [/mm] nennt man die "p-adische Exponentenbewertung" von x.
Mit dieser Zahl definieren wir nun den p-adischen Betrag:
[mm] $|x|_p [/mm] := [mm] p^{-v_p(x)}$.
[/mm]
Beachte, dass der Betrag von p dadurch gleich 1/p wird, und je größer der Exponent der Potenz [mm] p^k [/mm] ist, desto kleiner ist der Betrag [mm] $|p^k|_p [/mm] = [mm] p^{-k}$.
[/mm]
Dieser Betrag hat einige Eigenschaften des gewöhnliche Absolutbetrags auf den rationalen Zahlen:
* [mm] $|x|_p [/mm] = 0$ genau dann, wenn x = 0 ist.
* $|x [mm] y|_p [/mm] = [mm] |x|_p |y|_p$ [/mm] für alle x,y.
* $|x + [mm] y|_p \leq |x|_p [/mm] + [mm] |y|_p$ [/mm] für alle x,y.
Insbesondere erlaubt er uns, einen neuen Abstandsbegriff für rationale Zahlen einzuführen:
$d(x,y) := [mm] |x-y|_p$.
[/mm]
Es ist leicht zu prüfen, dass Q mit diesem p-adischen Abstand tatsächlich zu einem metrischen Raum wird.
Wir haben nun alle Begriffe, die aus Analysis I bekannt sind: Konvergenz, Grenzwerte, Cauchy-Folgen, Beschränktheit, Umgebungen etc.
Zum Beispiel ist die Folge $p, [mm] p^2, p^3, p^4, [/mm] ...$ konvergent, mit Grenzwert 0.
Ist dagegen q eine ganze Zahl, mit der Eigenschaft, dass weder q noch q-1 ein Vielfaches von p ist, dann ist $q, [mm] q^2, q^3, q^4, [/mm] ...$ zwar beschränkt, da [mm] $|q^k|_p [/mm] = 1$ ist für alle k, aber keine Cauchy-Folge (insbesondere nicht konvergent), da [mm] $|q^{n+1} [/mm] - [mm] q^n|_p [/mm] = [mm] |q^n|_p |q-1|_p [/mm] = 1$ ist für alle n.
Darüber hinaus gibt es aber auch Cauchy-Folgen, die nicht konvergieren. Für p=5 gibt es z.B. eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Quadrate der Folgeglieder gegen -1 konvergieren. Der Grenzwert, wenn er existieren würde, wäre eine Quadratwurzel von -1.
Da dieser Grenzwert aber bekanntermaßen nicht in Q liegt, beschreiten wir einen in der Analysis üblichen Weg: Wir vervollständigen Q, indem wir "die fehlenden Grenzwerte hinzufügen". Das geht formal ganz sauber durch Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen. Der p-adische Abstand wird dabei auf die Vervollständigung fortgesetzt. (Der p-adische Betrag noch nicht.)
Wir haben nun eine abstrakt gegebene Struktur, die wir [mm] Q_p [/mm] nennen, von der wir erstmal nicht wissen, wie sie aussieht. Aber wir wissen: [mm] Q_p [/mm] ist ein vollständiger metrischer Raum, der Q enthält, und in dem Q dicht ist.
Dass Q dicht in [mm] Q_p [/mm] liegt heißt, dass es zu jedem Element x aus [mm] Q_p [/mm] und jedem e>0 ein Element y aus Q gibt, so dass $d(x,y)<e$ ist. Insbesondere folgt daraus, dass sich jedes Element von [mm] Q_p [/mm] als Grenzwert einer Cauchy-Folge aus Q darstellen lässt.
Auf dem metrischen Raum [mm] Q_p [/mm] können wir nun eine Addition und eine Multiplikation definieren.
Seien $x = [mm] \lim x_n$ [/mm] und $y = [mm] \lim y_n$ [/mm] zwei Elemente aus [mm] Q_p, [/mm] dargestellt als Grenzwerte von Cauchy-Folgen aus Q, dann setzen wir:
$x [mm] \pm [/mm] y := [mm] \lim (x_n \pm y_n)$
[/mm]
$x y := [mm] \lim (x_n y_n)$
[/mm]
Ist zusätzlich y ungleich 0 (gleichbedeutend mit [mm] $d(x,y)\ne0$), [/mm] dann ist notwendig [mm] $y_n\ne0$ [/mm] für alle n ab einem bestimmten Index [mm] n_0. [/mm] Wir ersetzen alle [mm] y_n, [/mm] die 0 sind, durch 1 (das ändert am Grenzwert der Folge [mm] y_n [/mm] nichts), und definieren
$x/y := [mm] \lim(x_n/y_n)$.
[/mm]
Man kann nachprüfen, dass diese Grenzwerte alle existieren, und dass [mm] Q_p [/mm] mit diesen Rechenregeln ein Körper wird, der Q als Teilkörper enthält.
Durch die Setzung [mm] $|x|_p [/mm] := [mm] \lim |x_n|_p$ [/mm] erhalten wir einen Betrag auf [mm] Q_p, [/mm] der dieselben Eigenschaften hat, wie der p-adische Betrag auf Q.
Insgesamt ist also [mm] Q_p [/mm] ein Körper, der einen Betrag [mm] $|.|_p$ [/mm] hat, bezüglich dem er vollständig ist.
Die Elemente dieses Körpers nennen wir p-adische Zahlen.
Man vergleiche diese Konstruktion mit der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen, als Vervollständigung bezüglich dem gewöhnlichen Absolutbetrag (den wir im Rahmen dieser Theorie als [mm] $|.|_\infty$ [/mm] bezeichnen)
[mm] $|x|_\infty [/mm] := x$ für [mm] $x\ge0$,
[/mm]
[mm] $|x|_\infty [/mm] := -x$ für $x<0$.
Sooo... nun beginnt der Teil, der einem Analytiker nicht mehr so leicht fällt, denn jetzt nähern wir uns dem, was [mm] Q_p [/mm] von R unterscheidet.
Sind x und y rationale Zahlen, dann ist nicht nur
[mm] $|x+y|_p\leq |x|_p+|y|_p$,
[/mm]
sondern sogar
[mm] $|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}$.
[/mm]
Man nennt den p-adischen Betrag deshalb einen nichtarchimedischen Betrag, im Gegensatz zum Absolutbetrag, der ein archimedischer Betrag ist. Der p-adische Betrag heißt nichtarchimedisch, weil Q mit diesem Betrag das archimedische Axiom verletzt.
Das archimedische Axiom der reellen Zahlen besagt, dass für jede vorgegebene reelle Zahl x eine natürliche Zahl n existiert, so dass [mm] $|x|_\infty [/mm] < [mm] |n|_\infty$ [/mm] ist.
Für den p-adischen Betrag auf Q und auf [mm] Q_p [/mm] gilt das nicht mehr, da man für Q anhand der Definition sieht, dass für jede ganze Zahl z die Ungleichung
[mm] $|z|_p \leq [/mm] 1$
erfüllt ist. Die oben erwähnte Quadratwurzel i von -1 in [mm] Q_5 [/mm] erfüllt die Gleichung
[mm] $|i|_5 [/mm] = 1$, da $1 = [mm] |-1|_5 [/mm] = [mm] |i^2|_5 [/mm] = [mm] |i|_5^2$ [/mm] ist.
Diejenigen p-adischen Zahlen, deren Betrag kleinergleich 1 ist, heißen p-adische ganze Zahlen. Wie wir sehen, umfasst das die ganzen Zahlen, aber auch andere Elemente von Q und [mm] Q_p. [/mm] zum Beispiel ist [mm] $|1/2|_5 [/mm] = 1$, also ist 1/2 eine 5-adische ganze Zahl.
Weil der p-adische Betrag nichtarchimedisch ist, sind Summe und Produkt p-adischer ganzer Zahlen wieder p-adische ganze Zahlen, und diese Zahlen bilden einen Ring, den wir mit [mm] Z_p [/mm] bezeichnen. (Beachte, dass der Restklassenring Z/pZ manchmal auch als [mm] Z_p [/mm] geschrieben wird, aber diese Schreibweise muss hier konsequent vermieden werden!)
So, das soll erstmal reichen. Alex und ich haben für unsere Einführung in die p-adischen Zahlen zwei Wochen gebraucht, da erwarte ich nicht, dass das hier jemand binnen 2 Tagen versteht.
Also Stefan und andere, wenn Fragen bezüglich der Konstruktion von [mm] Q_p [/mm] und [mm] Z_p [/mm] bestehen, immer her damit. Zur konkreten Darstellung der p-adischen Zahlen kommen wir dann beim nächsten Mal.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 29.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Vielleicht noch eine kurze Bemerkung zur Nomenklatur: für eine Primzahl $p$ wird der beschriebene Körper [mm] $\IQ_p$ [/mm] manchmal auch "lokaler Körper" genannt, weil der ebenfalls beschriebene Ring der ganzen p-adischen Zahlen [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein lokaler Ring ist, das heißt die Menge aller Elemente, die keine Einheit sind (in diesem Fall also [mm] $\{x \in \IZ_p : |x|_p < 1 \}$) [/mm] aufgrund der nicht-archimedischen Eigenschaft des Betrages ein Ideal bilden, das dann automatisch maximal ist.
In meiner Elementaren Zahlentheorie-Vorlesung haben wir die p-adischen Zahlen auf die oben beschriebene Weise eingeführt und haben darüber hinaus noch bewiesen, dass es mehr Vervollständigungen von [mm] $\IQ$ [/mm] bezgl. irgendeiner Bewertung nicht gibt: jede Bewertung von [mm] $\IQ$ [/mm] ist äquivalent (im Sinne von Norm-Äquivalenz) zu einer p-adischen oder dem "gewöhnlichen" Betrag und da äquivalente Bewertungen zu isomorphen Vervollständigungen führen, folgt, dass [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IQ_p$ [/mm] für Primzahlen $p$ alle Vervollständigungen von [mm] $\IQ$ [/mm] bzgl. irgendwelcher Bewertungen sind.
Allerdings scheint dieser Stoff auch was die Zahlentheorie anbetrifft nicht zum kanonischen Vorrat einer EZT-Vorlesung zu gehören... die nächsten beiden darauf folgenden Vorlesungen dieser Art schnitten diese Konstruktion nämlich nicht an.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 29.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo gnometech,
> Vielleicht noch eine kurze Bemerkung zur Nomenklatur: für
> eine Primzahl [mm]p[/mm] wird der beschriebene Körper [mm]\IQ_p[/mm] manchmal
> auch "lokaler Körper" genannt, weil der ebenfalls
> beschriebene Ring der ganzen p-adischen Zahlen [mm]\IZ_p[/mm] ein
> lokaler Ring ist, das heißt die Menge aller Elemente, die
> keine Einheit sind (in diesem Fall also [mm]\{x \in \IZ_p : |x|_p < 1 \}[/mm])
> aufgrund der nicht-archimedischen Eigenschaft des Betrages
> ein Ideal bilden, das dann automatisch maximal ist.
Dass die Nichteinheiten ein maximales Ideal bilden ist richtig, und deshalb ist [mm] Z_p [/mm] ein lokaler Ring. Ich bin allerdings mit der Geschichte der p-adischen Zahlen nicht genug vertraut, um daraus die Bezeichnung "lokaler Körper" zu folgern. Es gibt vermutlich sehr viel mehr lokale Ringe, deren Quotientenkörper aber nicht lokale Körper heißen.
Es gibt aber auch noch den Begriff des globalen Körpers, der je nach Autor verschieden ist. Ich verwende in meiner Diplomarbeit den Begriff globaler Körper für endliche Erweiterungen von Q und rationale Funktionenkörper F(X) in einer Variablen X über einem endlichen Körper F. Jede Äquivalenzklasse von Beträgen auf einem globalen Körper heißt "Stelle" dieses Körpers, und wenn man den Körper "an dieser Stelle" vervollständigt (also bzgl. eines der äquivalenten Beträge), dann erhält man den zugehörigen lokalen Körper: R, C, eine endliche Erweiterung eines [mm] Q_p, [/mm] oder einen Laurentreihenkörper F((X)) in einer Variablen X über einem endlichen Körper F.
> In meiner Elementaren Zahlentheorie-Vorlesung haben wir die
> p-adischen Zahlen auf die oben beschriebene Weise
> eingeführt
Interessant, was manche Professoren für elementar halten. *g*
Ich hab p-adische Zahlen während eines Zahlentheorie-Seminars kennengelernt: Wir haben Serre, A course in arithmetics, durchgearbeitet.
> Allerdings scheint dieser Stoff auch was die Zahlentheorie
> anbetrifft nicht zum kanonischen Vorrat einer EZT-Vorlesung
> zu gehören... die nächsten beiden darauf folgenden
> Vorlesungen dieser Art schnitten diese Konstruktion nämlich
> nicht an.
Ja, ich denke auch, dass es normalerweise nicht zur elementaren Zahlentheorie gerechnet wird. Eher zur algebraischen Zahlentheorie.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 29.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian, lieber Lars!
Erst einmal, Christian, vielen, vielen lieben Dank für deine große Mühe, die du dir gemacht hast. ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]") Das ist wirklich toll!!
Ich werde es sicher demnächst durcharbeiten, denn es interessiert mich sehr!! Im Moment habe ich nur dummerweise keine Zeit, da wir in meiner Urlaubszeit sehr mit unserem Hausbau beschäftigt sind (es frisst alles doch mehr Zeit als gedacht  ). Aber vielleicht finde ich am Wochenende oder nächste Woche die Zeit. Ich hätte halt nicht gedacht, dass du mir (freundlicherweise! ) ein privates Tutorium gibst.
> > In meiner Elementaren Zahlentheorie-Vorlesung haben wir
> die
> > p-adischen Zahlen auf die oben beschriebene Weise
> > eingeführt
>
> Interessant, was manche Professoren für elementar halten.
> *g*
> Ich hab p-adische Zahlen während eines
> Zahlentheorie-Seminars kennengelernt: Wir haben Serre, A
> course in arithmetics, durchgearbeitet.
>
> > Allerdings scheint dieser Stoff auch was die
> Zahlentheorie
> > anbetrifft nicht zum kanonischen Vorrat einer
> EZT-Vorlesung
> > zu gehören... die nächsten beiden darauf folgenden
> > Vorlesungen dieser Art schnitten diese Konstruktion
> nämlich
> > nicht an.
>
> Ja, ich denke auch, dass es normalerweise nicht zur
> elementaren Zahlentheorie gerechnet wird. Eher zur
> algebraischen Zahlentheorie.
Das sehe ich auch so. Ich war ein Jahr lang Assistent einer Vorlesung "Elementare Zahlentheorie". Da haben wir so komplizierte Dinge aber nicht gemacht. Es ging mehr in Richtung analytische Zahlentheorie.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Sa 31.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Erst einmal, Christian, vielen, vielen lieben Dank für
> deine große Mühe, die du dir gemacht hast. Das
> ist wirklich toll!!
So groß ist die Mühe nicht.
> Ich werde es sicher demnächst durcharbeiten, denn es
> interessiert mich sehr!! [...] Ich hätte halt nicht gedacht,
> dass du mir (freundlicherweise! ) ein privates Tutorium
> gibst.
Ganz uneigennützig ist es nicht: Wenn dir meine Erklärungen wirklich beim Verständnis dieser Zahlen helfen, dann werde ich darüber nachdenken, sie in ähnlicher Form in die Wikipedia zu übertragen.
Richtig faszinierend wurde es für mich, als ich angefangen hab, tatsächlich mit diesen Zahlen zu rechnen: 1 + 1 in p-adischen Zahlen, sozusagen. Da erlebte ich so manche Überraschung. Wenn wir bei der Darstellung p-adischer Zahlen durch Ziffernfolgen (= Laurentreihen in p) angekommen sind, dann zeig ich ein paar Beispiel-Rechnungen.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 So 01.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
Nochmals vielen Dank, auch wenn ich ein etwas unzuverlässiger Fragesteller bin. Ich bin nämlich noch nicht dazu gekommen mir deine Sachen durchzulesen und fahre jetzt erst einmal mit meiner Frau ein paar Tage weg. Ich melde mich dann Ende nächster Woche noch einmal und sage dir, ob ich dazu noch Fragen habe.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Do 05.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christian
Ich will mich dem Dank von Stefan anschliessen!
Ich habe von den p-adischen Zahlen bisher auch noch nichts gehört, finde deine Ausführungen dazu aber höchst interessant.
>
> Richtig faszinierend wurde es für mich, als ich angefangen
> hab, tatsächlich mit diesen Zahlen zu rechnen: 1 + 1 in
> p-adischen Zahlen, sozusagen. Da erlebte ich so manche
> Überraschung. Wenn wir bei der Darstellung p-adischer
> Zahlen durch Ziffernfolgen (= Laurentreihen in p)
> angekommen sind, dann zeig ich ein paar
> Beispiel-Rechnungen.
Darauf warte ich jetzt mit grosser Spannung. Bitte spanne uns nicht allzu lange auf die Folter!
Was mich insbesondere interessieren würde: finden auch die Grösser-Kleiner-Beziehungen eine natürliche Fortsetzung auf [mm] $Q_p$?
[/mm]
Und wie geht man mit der Tatsache um, dass der Betrag eines Betrages offenbar nicht gleich dem Betrag ist, sondern seinem Kehrwert?
[mm] ($\mid\mid{a}\mid_p\mid_p [/mm] * [mm] \mid{a}\mid_p [/mm] = 1$
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Do 05.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Paul,
> > Wenn wir bei der Darstellung p-adischer
> > Zahlen durch Ziffernfolgen (= Laurentreihen in p)
> > angekommen sind, dann zeig ich ein paar
> > Beispiel-Rechnungen.
>
> Darauf warte ich jetzt mit grosser Spannung. Bitte spanne
> uns nicht allzu lange auf die Folter!
Kommt - heute oder morgen!
> Was mich insbesondere interessieren würde: finden auch die
> Grösser-Kleiner-Beziehungen eine natürliche Fortsetzung auf
> [mm]Q_p[/mm]?
Nein, [mm] \IQ_p [/mm] kann nicht angeordnet werden. zum Beweis kann man die Existenz von Quadratwurzeln negativer ganzer Zahlen anführen, was wir noch tun werden.
> Und wie geht man mit der Tatsache um, dass der Betrag
> eines Betrages offenbar nicht gleich dem Betrag ist,
> sondern seinem Kehrwert?
> [mm]||{a}|_p|_p * |{a}|_p = 1[/mm]
Man gewöhnt sich dran *g*
Mir ist das auch erst kürzlich bewusst geworden, als ich die Funktion $x [mm] \mapsto 1/|x|_p$ [/mm] auf [mm] \IQ_p [/mm] betrachtet habe, die sich stetig in die 0 fortsetzen lässt.
Manchmal wird der Betrag nicht als p-Potenz, sondern als e-Potenz definiert, also als reelle Zahl, die selber nichts mit [mm] \IQ_p [/mm] zu tun hat. Das ist kein Problem, denn diese Beträge sind äquivalent und unterscheiden sich nur um einen konstanten Exponenten. Es gibt aber Aussagen, die nur mit den p-adischen Beträgen funktionieren, die ich hier definiert habe. Zum Beispiel kann man so den Betrag selbst als rationale Zahl und damit als Element von [mm] \IQ_p [/mm] auffassen, und es gibt eine nette Produktformel: Für jede rationale Zahl x gilt:
$1 = [mm] |x|_\infty \prod_{p} |x|_p$
[/mm]
Die leitet man schnell aus der Primfaktorzerlegung von x her.
Gruss,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Sa 20.06.2015 | | Autor: | Kat314 |
Auch wenn [mm] \IQ_{p} [/mm] nicht angeordnet werden kann, kann man doch die Bewertungsfunktion nutzen, um zumindest eine Art Sortierung vorzunehmen, oder? Konkret würde ich gerne für meine Masterarbeit wissen: Ist [mm] \IZ_{p} [/mm] euklidisch und kann man die Bewertungsfunktion, die jeder Zahl ihre p-Potenz zuordnet als euklidische Funktion nehmen? Eigentlich sollte das wohl gehen, aber ich kriege die konkrete Division mit Rest so auf Anhieb irgendwie nicht hin...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 03.07.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Auch wenn [mm]\IQ_{p}[/mm] nicht angeordnet werden kann, kann man
> doch die Bewertungsfunktion nutzen, um zumindest eine Art
> Sortierung vorzunehmen, oder?
Hängt davon ab, was du mit "eine Art [von] Sortierung" meinst
> Konkret würde ich gerne für
> meine Masterarbeit wissen: Ist [mm]\IZ_{p}[/mm] euklidisch
Ja.
> und kann
> man die Bewertungsfunktion, die jeder Zahl ihre p-Potenz
> zuordnet als euklidische Funktion nehmen?
Nein, du musst das Inverse davon nehmen. Also der $p$-adischen Zahl [mm] $p^z \cdot [/mm] a$ (mit $a$ Einheit) musst du [mm] $p^{-z}$ [/mm] zuordnen.
Wenn du $a = [mm] p^x \cdot [/mm] a'$, $b = [mm] p^y \cdot [/mm] b'$ hast mit Einheiten $a', b'$, dann kannst du $a = [mm] p^{x - y} \cdot [/mm] (a'/b') [mm] \cdot [/mm] b$ schreiben. Wenn $y [mm] \le [/mm] x$ ist, dann ist $b$ ein Teiler von $a$ (weil $a/b = [mm] p^{x - y} \cdot [/mm] (a'/b')$ eine $p$-adische Zahl ist) und du bist fertig. Wenn $y > x$ ist, dann ist $a = 0 [mm] \cdot [/mm] b + a$ und $|a| < |b|$ und du bist ebenfalls fertig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 12.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Und es ist möglich, die p-adischen ganzen Zahlen [mm]Z_p[/mm] als so
> genannten projektiven Limes der Restklassenringe [mm]Z/p^k Z[/mm]
> einzuführen, und [mm]Q_p[/mm] als Quotientenkörper dieses Ringes.
> Dieser Weg funktioniert ebenfalls sehr allgemein, und ist
> eine rein algebraische Konstruktion.
Ja, diesen Weg habe ich mir jetzt auch durchgelesen, im Buch "Zahlen" von Ebbinghaus. Ich fand ihn (formal!) recht einfach, weil ich die Konstruktion aus der Funktionentheorie (genauer gesagt, aus entsprechenden Büchern zur lokalen analytischen Theorie) kenne (der Zusammenhang steht ja auch sehr schön in dem Buch von Ebbinghaus). (Daher ist mir jetzt auch erst die Bezeichnung "Laurentreihe" in diesem Zusammenhang klar.) Das heißt nicht, dass man nach diesem Weg gut mit den p-adischen Zahlen rechnen kann.
> Die Bedeutung dieses [mm]v_p(x)[/mm] ist für ganze Zahlen x aus der
> Schule bekannt:
> Bilden wir diese Zahlen für alle Primzahlen q, dann ist
> [mm]x = (\pm 1) 2^{v_2(x)} 3^{v_3(x)} 5^{v_5(x)} \cdots q^{v_q(x)} \cdots[/mm]
>
> Dieses Produkt ist gerade die Primfaktorzerlegung von x.
Hier sollte man vielleicht noch (für Wikipedia ) dazuschreiben, was [mm] $v_p(x)$ [/mm] für eine rationale Zahl $x$ genau ist (habe ich aber nachgelesen).
> [mm]v_p(x)[/mm] nennt man die "p-adische Exponentenbewertung" von
> x.
> Mit dieser Zahl definieren wir nun den p-adischen
> Betrag:
> [mm]|x|_p := p^{-v_p(x)}[/mm].
>
> Beachte, dass der Betrag von p dadurch gleich 1/p wird, und
> je größer der Exponent der Potenz [mm]p^k[/mm] ist, desto kleiner
> ist der Betrag [mm]|p^k|_p = p^{-k}[/mm].
>
> Dieser Betrag hat einige Eigenschaften des gewöhnliche
> Absolutbetrags auf den rationalen Zahlen:
> * [mm]|x|_p = 0[/mm] genau dann, wenn x = 0 ist.
Dann müsste man aber noch sagen, dass [mm] $v_p(a) [/mm] = [mm] \infty \Leftrightarrow [/mm] a=0$ gilt. (Das setzt man wohl so. Oder?)
> * [mm]|x y|_p = |x|_p |y|_p[/mm] für alle x,y.
> * [mm]|x + y|_p \leq |x|_p + |y|_p[/mm] für alle x,y.
>
> Insbesondere erlaubt er uns, einen neuen Abstandsbegriff
> für rationale Zahlen einzuführen:
> [mm]d(x,y) := |x-y|_p[/mm].
> Es ist leicht zu prüfen, dass Q mit
> diesem p-adischen Abstand tatsächlich zu einem metrischen
> Raum wird.
Klar, da ja für [mm] $|\cdot |_p$ [/mm] insbesondere die Normeigenschaften gelten. Oder ist das nicht die Begründung?
> Darüber hinaus gibt es aber auch Cauchy-Folgen, die nicht
> konvergieren. Für p=5 gibt es z.B. eine Cauchy-Folge
> rationaler Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Quadrate
> der Folgeglieder gegen -1 konvergieren. Der Grenzwert, wenn
> er existieren würde, wäre eine Quadratwurzel von -1.
Kannst du das vielleicht näher erläutern? Welche Folge ist das? (Mir fehlt einfach die Zeit, mir so etwas selber zu basteln.)
> Sind x und y rationale Zahlen, dann ist nicht nur
> [mm]|x+y|_p\leq |x|_p+|y|_p[/mm],
> sondern sogar
> [mm]|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}[/mm].
Okay, wegen
[mm] $v_p(x+y) \ge \min(v_p(x),v_p(y))$.
[/mm]
> Weil der p-adische Betrag nichtarchimedisch ist, sind Summe
> und Produkt p-adischer ganzer Zahlen wieder p-adische ganze
> Zahlen,
Diesen Schluss verstehe ich nicht. Ist "nichtarchimedisch" das Gleiche wie "nicht archimedisch"? Tut mir leid, das müsste man vielleicht deutlicher erläutern, jedenfalls mir.
Sehr schön, vielen Dank noch einmal ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") . Die bestehenden Unklarheiten sind ausschließlich meiner Dummheit ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]") anzulasten.
Wie ist denn jetzt der Zusammenhang zur algebraischen Definition über den projektiven Limes? Kann man das in wenigen Sätzen erläutern?
Zu deinem anderen Beitrag komme ich erst, wenn ich hier alles halbwegs verstanden habe.
Danke im Voraus für deine Antwort!!
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> > Und es ist möglich, die p-adischen ganzen Zahlen [mm]Z_p[/mm] als so
> > genannten projektiven Limes der Restklassenringe [mm]Z/p^k Z[/mm]
> > einzuführen, und [mm]Q_p[/mm] als Quotientenkörper dieses Ringes.
> > Dieser Weg funktioniert ebenfalls sehr allgemein, und ist
> > eine rein algebraische Konstruktion.
>
> Ja, diesen Weg habe ich mir jetzt auch durchgelesen, im
> Buch "Zahlen" von Ebbinghaus. Ich fand ihn (formal!) recht
> einfach, [...]
> Das heißt
> nicht, dass man nach diesem Weg gut mit den p-adischen
> Zahlen rechnen kann.
Den hab ich als erstes kennengelernt. Serre führt sie so ein in "A course in arithmetics".
Diese Darstellung erlaubt es sehr leicht, die Zahlen als unendliche Ziffernfolgen (eben Potenzreihen bzw. Laurentreihen) aufzuschreiben, und dann damit zu rechnen. Das hab ich ganz allein versucht, erst natürlich Restklassenweise, und dann erkannte ich dass die üblichen Rechenverfahren funktionieren.
> > Die Bedeutung dieses [mm]v_p(x)[/mm] ist für ganze Zahlen x aus
> > der Schule bekannt:
> > Bilden wir diese Zahlen für alle Primzahlen q, dann ist
> > [mm]x = (\pm 1) 2^{v_2(x)} 3^{v_3(x)} 5^{v_5(x)} \cdots q^{v_q(x)} \cdots[/mm]
> >
> > Dieses Produkt ist gerade die Primfaktorzerlegung von x.
>
> Hier sollte man vielleicht noch (für Wikipedia )
> dazuschreiben, was [mm]v_p(x)[/mm] für eine rationale Zahl [mm]x[/mm] genau
> ist (habe ich aber nachgelesen).
Was meinst du? Sollte ich da beschreiben, wie man aus Zähler und Nenner einer rationalen Zahl diese Exponentenbewertung bekommt?
> > [mm]v_p(x)[/mm] nennt man die "p-adische Exponentenbewertung" von x.
> > Mit dieser Zahl definieren wir nun den p-adischen Betrag:
> > [mm]|x|_p := p^{-v_p(x)}[/mm].
> >
> > Beachte, dass der Betrag von p dadurch gleich 1/p wird, und
> > je größer der Exponent der Potenz [mm]p^k[/mm] ist, desto kleiner
> > ist der Betrag [mm]|p^k|_p = p^{-k}[/mm].
> >
> > Dieser Betrag hat einige Eigenschaften des gewöhnliche
> > Absolutbetrags auf den rationalen Zahlen:
> > * [mm]|x|_p = 0[/mm] genau dann, wenn x = 0 ist.
>
> Dann müsste man aber noch sagen, dass [mm]v_p(a) = \infty \Leftrightarrow a=0[/mm]
> gilt. (Das setzt man wohl so. Oder?)
Ja, stimmt. Das setzt man so, und setzt dann [mm] $p^-\infty:=0$.
[/mm]
> > * [mm]|x y|_p = |x|_p |y|_p[/mm] für alle x,y.
> > * [mm]|x + y|_p \leq |x|_p + |y|_p[/mm] für alle x,y.
> >
> > Insbesondere erlaubt er uns, einen neuen Abstandsbegriff
>
> > für rationale Zahlen einzuführen:
> > [mm]d(x,y) := |x-y|_p[/mm].
> > Es ist leicht zu prüfen, dass Q mit
> > diesem p-adischen Abstand tatsächlich zu einem metrischen
> > Raum wird.
>
> Klar, da ja für [mm]|\cdot |_p[/mm] insbesondere die
> Normeigenschaften gelten. Oder ist das nicht die
> Begründung?
Fast - eine Norm ist üblicherweise nur für reelle oder komplexe Vektorräume definiert. Man kann den Normbegriff aber verallgemeinern auf beliebige bewertete Körper, und allgemein beweisen, dass diese Normen eine Metrik induzieren.
> > Darüber hinaus gibt es aber auch Cauchy-Folgen, die nicht
> > konvergieren. Für p=5 gibt es z.B. eine Cauchy-Folge
> > rationaler Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Quadrate
> > der Folgeglieder gegen -1 konvergieren. Der Grenzwert,
> > wenn er existieren würde, wäre eine Quadratwurzel von -1.
>
> Kannst du das vielleicht näher erläutern? Welche Folge ist
> das? (Mir fehlt einfach die Zeit, mir so etwas selber zu
> basteln.)
Beginne mit [mm] x_0 [/mm] = 2 oder [mm] x_0 [/mm] = 3, und führe die Newton-Iteration für $f(x) = [mm] x^2+1$ [/mm] durch, d.h.
iteriere [mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \frac{x_n^2+1}{2 x_n}$.
[/mm]
Die entstehende Folge rationaler Zahlen konvergiert 5-adisch(!) gegen [mm] \sqrt{-1}. [/mm] Die beiden Quadratwurzeln sind auf 20 Stellen genau:
[mm] ...40423140223032431212_5
[/mm]
[mm] ...04021304221412013233_5
[/mm]
> > Sind x und y rationale Zahlen, dann ist nicht nur
> > [mm]|x+y|_p\leq |x|_p+|y|_p[/mm],
> > sondern sogar
> > [mm]|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}[/mm].
>
> Okay, wegen
> [mm]v_p(x+y) \ge \min(v_p(x),v_p(y))[/mm].
Richtig.
> > Weil der p-adische Betrag nichtarchimedisch ist, sind
> > Summe und Produkt p-adischer ganzer Zahlen wieder
> > p-adische ganze Zahlen,
>
> Diesen Schluss verstehe ich nicht. Ist "nichtarchimedisch"
> das Gleiche wie "nicht archimedisch"? Tut mir leid, das
> müsste man vielleicht deutlicher erläutern, jedenfalls mir.
>
Ja, das sollte ich klarer herausstellen:
Ein Betrag mit der Eigenschaft [mm]|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}[/mm] für alle x, y heißt nichtarchimedisch. Hat er diese Eigenschaft nicht, heißt er archimedisch. Ein nicht archimedischer Betrag ist also nichtarchimedisch.
> Sehr schön, vielen Dank noch einmal . Die
> bestehenden Unklarheiten sind ausschließlich meiner
> Dummheit anzulasten.
Nein, einiges kann man sicher noch besser erklären.
> Wie ist denn jetzt der Zusammenhang zur algebraischen
> Definition über den projektiven Limes? Kann man das in
> wenigen Sätzen erläutern?
Der Zusammenhang ist der, dass die p-adischen Zahlen der Vervollständigung und der Quotentenkörper des projektive Limes isomorph sind als bewertete Körper. Dieser Isomorphismus ist meines Wissens sogar eindeutig bestimmt, und ergibt sich aus der in beiden Strukturen vorhandenen Laurentreihendarstellung.
> Zu deinem anderen Beitrag komme ich erst, wenn ich hier
> alles halbwegs verstanden habe.
*daumendrück*
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 13.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Was meinst du? Sollte ich da beschreiben, wie man aus
> Zähler und Nenner einer rationalen Zahl diese
> Exponentenbewertung bekommt?
Ja, mir war das zunächst nicht klar, dass man sozusagen Zähler und Nenner verrechnet. Ich habe es mir zwar gedacht, aber wissen konnte man es nicht (oder aber ich bin zu begriffstutzig). Bis ich dann im Ebbinghaus (sinngemäß) nachgelesen hatte:
$a = [mm] p^m \, \frac{b'}{c'} \quad [/mm] , [mm] \quad \ggT(b'c',p)=1 \quad \Rightarrow \quad |a|_p [/mm] = [mm] \frac{1}{p^m}$.
[/mm]
Ich denke, das sollte man dann deutlicher im Wikipedia-Text herausstellen.
> Fast - eine Norm ist üblicherweise nur für reelle oder
> komplexe Vektorräume definiert. Man kann den Normbegriff
> aber verallgemeinern auf beliebige bewertete Körper, und
> allgemein beweisen, dass diese Normen eine Metrik
> induzieren.
Ja, klar, aber man benutzt ja bei einer von einer "üblichen" Norm induzierten Metrik auch nur die drei Normeigenschaften und (abgesehen von den Körpereigenschaften) keine besonderen Eigenschaften von [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$. [/mm] Von daher gehe ich mal davon aus, dass es 1:1 der gleiche Beweis ist. Das meinte ich.
> Beginne mit [mm]x_0[/mm] = 2 oder [mm]x_0[/mm] = 3, und führe die
> Newton-Iteration für [mm]f(x) = x^2+1[/mm] durch, d.h.
> iteriere [mm]x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2+1}{2 x_n}[/mm].
> Die
> entstehende Folge rationaler Zahlen konvergiert 5-adisch(!)
> gegen [mm]\sqrt{-1}.[/mm] Die beiden Quadratwurzeln sind auf 20
> Stellen genau:
> [mm]...40423140223032431212_5
[/mm]
> [mm]...04021304221412013233_5
[/mm]
Hmmh. Das ist mir überhaupt nicht klar, muss ich zugeben. Wie kommt man auf das Newton-Verfahren? Warum konvergiert die Folge (wie kann man das zeigen)?
> Ja, das sollte ich klarer herausstellen:
> Ein Betrag mit der Eigenschaft [mm]|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}[/mm]
> für alle x, y heißt nichtarchimedisch. Hat er diese
> Eigenschaft nicht, heißt er archimedisch. Ein nicht
> archimedischer Betrag ist also nichtarchimedisch.
Okay, Danke, dann verstehe ich diesen Teil.
> Der Zusammenhang ist der, dass die p-adischen Zahlen der
> Vervollständigung und der Quotentenkörper des projektive
> Limes isomorph sind als bewertete Körper. Dieser
> Isomorphismus ist meines Wissens sogar eindeutig bestimmt,
> und ergibt sich aus der in beiden Strukturen vorhandenen
> Laurentreihendarstellung.
>
> > Zu deinem anderen Beitrag komme ich erst, wenn ich hier
>
> > alles halbwegs verstanden habe.
>
> *daumendrück*
Ich fürchte mir fehlt die Zeit hier ein tieferes Verständnis zu entwickeln. Ich wäre schon froh die Sachen halbwegs nachvollziehen zu können, zum Beispiel die Sache oben. Deine ersten Worte sind mir auch nicht klar (ich kann sie leider jetzt nicht mehr zitieren). Was meinst du mit "restklassenweise rechnen" und den "üblichen Rechenregeln"? Kannst du dafür mal ein Beispiel nennen?
Wenn man jetzt mal die algebraische Definition rechnet, dann müssten doch Addition und Subtraktion wie im direkten Produkt [mm] $\prod\limits_{n=1}^{\infty} \IZ/p^n \IZ$ [/mm] definiert sein, oder nicht? Schließlich ist doch der projektive Limes ein Teilring davon. Meinst du das mit "restklassenweise"? Aber was sind die "üblichen Rechenregeln"?
Du siehst schon, es ist schwer mit mir. Jetzt weiß ich auch, warum du den Wikipedia-Text an mir ausprobierst. So nach dem Motto: Wenn ich es verstehe, dann aber auch wirklich jeder.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
> > Beginne mit [mm]x_0[/mm] = 2 oder [mm]x_0[/mm] = 3, und führe die
> > Newton-Iteration für [mm]f(x) = x^2+1[/mm] durch, d.h.
> > iteriere [mm]x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2+1}{2 x_n}[/mm].
> >
> > Die entstehende Folge rationaler Zahlen konvergiert 5-adisch(!)
> > gegen [mm]\sqrt{-1}.[/mm] Die beiden Quadratwurzeln sind auf 20
>
> > Stellen genau:
> > [mm]...40423140223032431212_5[/mm]
> > [mm]...04021304221412013233_5[/mm]
>
> Hmmh. Das ist mir überhaupt nicht klar, muss ich zugeben.
> Wie kommt man auf das Newton-Verfahren? Warum konvergiert
> die Folge (wie kann man das zeigen)?
Siehe meine Antwort auf deine andere Frage. Hensels Lemma besagt, dass man unter bestimmten Voraussetzungen aus einer Näherung für eine Nullstelle eines Polynoms eine p-adische Nullstelle konstruieren kann, und diese Konstruktion entspricht der Anwendung des Newton-Verfahrens.
> Wenn man jetzt mal die algebraische Definition rechnet,
> dann müssten doch Addition und Subtraktion wie im direkten
> Produkt [mm]\prod\limits_{n=1}^{\infty} \IZ/p^n \IZ[/mm] definiert
> sein, oder nicht? Schließlich ist doch der projektive Limes
> ein Teilring davon. Meinst du das mit "restklassenweise"?
Ja, das meint er mit "restklassenweise".
> Aber was sind die "üblichen Rechenregeln"?
Damit meint er die Rechenregeln des "schriftlichen Rechnens", das nur mit den Ziffernfolgen arbeitet. Die Rechenbeispiele in unserem Text
http://www.chsemrau.de/studium/mathematik/p-adische_berechnungen.pdf
basieren im Prinzip auf den "üblichen Rechenregeln" des schriftlichen Rechnens.
Liebe Grüße,
Irrlicht
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Hallo Stefan,
> > Was meinst du? Sollte ich da beschreiben, wie man aus
> > Zähler und Nenner einer rationalen Zahl diese
> > Exponentenbewertung bekommt?
>
> Ja, mir war das zunächst nicht klar, dass man sozusagen
> Zähler und Nenner verrechnet. Ich habe es mir zwar
> gedacht, aber wissen konnte man es nicht (oder aber ich bin
> zu begriffstutzig). Bis ich dann im Ebbinghaus (sinngemäß)
> nachgelesen hatte:
>
> [mm]a = p^m \, \frac{b'}{c'} \quad , \quad \ggT(b'c',p)=1 \quad \Rightarrow \quad |a|_p = \frac{1}{p^m}[/mm].
Meine "rationale Zahl u" in der Darstellung $x = [mm] p^k [/mm] u$ ist von der Form [mm] \frac{b}{c} [/mm] mit p [mm] \nmid [/mm] b und p [mm] \nmid [/mm] c. (Es reicht nicht ggT(b,c,p)=1 zu fordern, denn dann kann immer noch b ein Vielfaches von p sein, wenn nur c es nicht ist.)
> Ich denke, das sollte man dann deutlicher im Wikipedia-Text
> herausstellen.
Wikipedia-Text? Achja, ich wollte Teile dieser Erklärung in den Wiki-Artikel (oder Unter-Artikel) einfließen lassen. Na da hab ich mir ja was vorgenommen *g*
Ja, die rationale Zahl sollte direkt als Bruch zweier ganzer Zahlen präsentiert werden.
> Ja, klar, aber man benutzt ja bei einer von einer
> "üblichen" Norm induzierten Metrik auch nur die drei
> Normeigenschaften und (abgesehen von den
> Körpereigenschaften) keine besonderen Eigenschaften von [mm]\IR[/mm]
> oder [mm]\IC[/mm]. Von daher gehe ich mal davon aus, dass es 1:1 der
> gleiche Beweis ist. Das meinte ich.
Du hast recht: Beim Beweis der Metrik-Eigenschaften werden alle Norm-Eigenschaften benutzt und zusätzlich [mm] |-1|_p [/mm] = 1. Dieser Beweis geht also ganz analog zum Fall eines reellen Vektorraums, wobei der p-adische Betrag gleichzeitig die Rolle des Betrags des Grundkörpers und die Rolle der Norm des Vektorraums übernimmt.
> Ich fürchte mir fehlt die Zeit hier ein tieferes
> Verständnis zu entwickeln. Ich wäre schon froh die Sachen
> halbwegs nachvollziehen zu können, zum Beispiel die Sache
> oben. Deine ersten Worte sind mir auch nicht klar (ich kann
> sie leider jetzt nicht mehr zitieren). Was meinst du mit
> "restklassenweise rechnen" und den "üblichen Rechenregeln"?
> Kannst du dafür mal ein Beispiel nennen?
Betrachten wir die Zahl 35 als Element des 3-adischen projektiven Limes [mm] $\IZ_3:=\varprojlim \IZ/3^k\IZ$. [/mm] Die Restklassen modulo den aufsteigenden 3-Potenzen sind
$2, 8, 8, 35, 35, 35, ...$
oder in Potenzen von 3:
$2, 2+2*3, 2+2*3+0*9, 2+2*3+0*9+1*27, 2+2*3+0*9+1*27+0*81, ...$
Wollen wir 1 addieren, bilden wir die Restklassen der 1:
$1, 1, 1, ...$
oder in Potenzen von 3:
$1, 1+0*3, 1+0*9, ...$
Wir addieren diese beiden Folgen elementweise, jeweils modulo der entsprechenden 3-Potenz:
0, 0, 10, 36, 36, 36, ...
Diese Folge erfüllt die Kongruenzbedingung des projektiven Limes, ist also ein Element von [mm] $\IZ_3$. [/mm] Und "zufällig" ist sie modulo jeder 3-Potenz kongruent zu 36.
Nun können wir aber auch die Potenzdarstellung nehmen und nur die Koeffizienten aufschreiben, wir tun das gleich andersrum:
...001022
für die 35 und
...000001
für die 1.
Die addieren wir jetzt nach den "üblichen Rechenregeln", führen also eine schriftliche Addition durch. Die Summe ist
...001100.
Und das ist genau
$1*27+1*9+0*3+0 = 36$.
> Du siehst schon, es ist schwer mit mir. Jetzt weiß ich
> auch, warum du den Wikipedia-Text an mir ausprobierst. So
> nach dem Motto: Wenn ich es verstehe, dann aber auch
> wirklich jeder.
Vielleicht nicht jeder, aber doch hoffentlich jeder, der sich die Zeit nimmt, sich alles durchzulesen und zu durchdenken.
Gruss,
SirJective
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> > zu begriffstutzig). Bis ich dann im Ebbinghaus
> (sinngemäß)
> > nachgelesen hatte:
> >
> > [mm]a = p^m \, \frac{b'}{c'} \quad , \quad \ggT(b'c',p)=1 \quad \Rightarrow \quad |a|_p = \frac{1}{p^m}[/mm].
>
>
> Meine "rationale Zahl u" in der Darstellung [mm]x = p^k u[/mm] ist
> von der Form [mm]\frac{b}{c}[/mm] mit p [mm]\nmid[/mm] b und p [mm]\nmid[/mm] c. (Es
> reicht nicht ggT(b,c,p)=1 zu fordern, denn dann kann immer
> noch b ein Vielfaches von p sein, wenn nur c es nicht
> ist.)
Das weiß ich, und das habe ich ja auch nicht behauptet. Ich habe ja $ggT(bc,p)=1$ geschrieben.
> Du hast recht: Beim Beweis der Metrik-Eigenschaften werden
> alle Norm-Eigenschaften benutzt und zusätzlich [mm]|-1|_p[/mm] = 1.
> Dieser Beweis geht also ganz analog zum Fall eines reellen
> Vektorraums, wobei der p-adische Betrag gleichzeitig die
> Rolle des Betrags des Grundkörpers und die Rolle der Norm
> des Vektorraums übernimmt.
Ja, wie in [mm] $\IR$ [/mm] halt. Okay, dachte ich es mir doch.
>
> > Ich fürchte mir fehlt die Zeit hier ein tieferes
> > Verständnis zu entwickeln. Ich wäre schon froh die Sachen
>
> > halbwegs nachvollziehen zu können, zum Beispiel die Sache
>
> > oben. Deine ersten Worte sind mir auch nicht klar (ich
> kann
> > sie leider jetzt nicht mehr zitieren). Was meinst du mit
>
> > "restklassenweise rechnen" und den "üblichen
> Rechenregeln"?
> > Kannst du dafür mal ein Beispiel nennen?
>
> Betrachten wir die Zahl 35 als Element des 3-adischen
> projektiven Limes [mm]\IZ_3:=\varprojlim \IZ/3^k\IZ[/mm]. Die
> Restklassen modulo den aufsteigenden 3-Potenzen sind
> [mm]2, 8, 8, 35, 35, 35, ...[/mm]
> oder in Potenzen von 3:
> [mm]2, 2+2*3, 2+2*3+0*9, 2+2*3+0*9+1*27, 2+2*3+0*9+1*27+0*81, ...[/mm]
>
>
> Wollen wir 1 addieren, bilden wir die Restklassen der 1:
> [mm]1, 1, 1, ...[/mm]
> oder in Potenzen von 3:
> [mm]1, 1+0*3, 1+0*9, ...[/mm]
>
> Wir addieren diese beiden Folgen elementweise, jeweils
> modulo der entsprechenden 3-Potenz:
> 0, 0, 10, 36, 36, 36, ...
> Diese Folge erfüllt die Kongruenzbedingung des projektiven
> Limes, ist also ein Element von [mm]\IZ_3[/mm]. Und "zufällig" ist
> sie modulo jeder 3-Potenz kongruent zu 36.
>
> Nun können wir aber auch die Potenzdarstellung nehmen und
> nur die Koeffizienten aufschreiben, wir tun das gleich
> andersrum:
> ...001022
> für die 35 und
> ...000001
> für die 1.
> Die addieren wir jetzt nach den "üblichen Rechenregeln",
> führen also eine schriftliche Addition durch. Die Summe
> ist
> ...001100.
> Und das ist genau
> [mm]1*27+1*9+0*3+0 = 36[/mm].
Ja, das war mir jetzt klar, nachdem ich Alex' Erklärung gelesen hatte. Aber: Vielen Dank für das zusätzliche Beispiel! Jetzt bin ich mir wenigstens sicher, dass ich es auch richtig verstanden habe.
> > Du siehst schon, es ist schwer mit mir. Jetzt weiß ich
>
> > auch, warum du den Wikipedia-Text an mir ausprobierst. So
>
> > nach dem Motto: Wenn ich es verstehe, dann aber auch
> > wirklich jeder.
>
> Vielleicht nicht jeder, aber doch hoffentlich jeder, der
> sich die Zeit nimmt, sich alles durchzulesen und zu
> durchdenken.
Danke für das "Kompliment". Aber es stimmt schon, ich beschäftige mich natürlich zu wenig damit.
Nochmals vielen Dank für die ganzen Erklärungen! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 17.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
> Das weiß ich, und das habe ich ja auch nicht behauptet. Ich
> habe ja [mm]ggT(bc,p)=1[/mm] geschrieben.
Stimmt, Lesefehler meinerseits. Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil
> > Betrachten wir die Zahl 35 als Element des 3-adischen
> > projektiven Limes [mm]\IZ_3:=\varprojlim \IZ/3^k\IZ[/mm]. Die
> > Restklassen modulo den aufsteigenden 3-Potenzen sind
> > [mm]2, 8, 8, 35, 35, 35, ...[/mm]
> > oder in Potenzen von 3:
> > [mm]2, 2+2*3, 2+2*3+0*9, 2+2*3+0*9+1*27, 2+2*3+0*9+1*27+0*81, ...[/mm]
> > [...]
>
> Ja, das war mir jetzt klar, nachdem ich Alex' Erklärung
> gelesen hatte. Aber: Vielen Dank für das zusätzliche
> Beispiel! Jetzt bin ich mir wenigstens sicher, dass ich
> es auch richtig verstanden habe.
Gut.
> > > So nach dem Motto: Wenn ich es verstehe, dann aber
> > > auch wirklich jeder.
> >
> > Vielleicht nicht jeder, aber doch hoffentlich jeder, der
> > sich die Zeit nimmt, sich alles durchzulesen und zu
> > durchdenken.
>
> Danke für das "Kompliment". Aber es stimmt schon, ich
> beschäftige mich natürlich zu wenig damit.
"Zu wenig" ist relativ. Für einen ersten Überblick ist es nicht zuwenig, für ein Verständnis möglicherweise. Aber kann man alles wissen, vielleicht sogar gleichzeitig?
> Nochmals vielen Dank für die ganzen Erklärungen!
Was man selbst weiß kann man am besten erklären, nicht wahr? Und lernt selbst dabei (wie z.B. den noch nachzutragenden Beweis des Satzes, dass jede p-adische ganze Zahl modulo p kongruent zu genau einer Zahl aus {0, ..., p-1} ist). Das ist doch ein Zweck dieses Forums.
Gruss,
SirJective
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Na dann wollen wir mal schauen, wie weit wir heute kommen.
Heute wollen wir die Darstellung durch Laurentreihen herleiten. (Leider fehlt mir dazu der wichtigste Satz, er ist unten hervorgehoben.)
Im ersten Beitrag habe ich dargelegt, wie die p-adischen Zahlen [mm] \IQ_p [/mm] als Vervollständigung der rationalen Zahlen (bezüglich einem p-adischen Betrag) definiert werden.
Da der Betrag einer p-adischen Zahl als Grenzwert der Beträge einer rationalen Näherungsfolge definiert ist, können wir schnell feststellen: Es kommen keine neuen Beträge hinzu, anders als bei der Vervollständigung bezüglich dem gewöhnlichen Absolutbetrag [mm] $|.|_\infty$, [/mm] wo neue Beträge hinzukommen.
Die Menge aller Beträge p-adischer Zahlen ist also dieselbe wie die Menge aller p-adischen Beträge von rationalen Zahlen, und zwar besteht sie aus den ganzen Potenzen von p:
[mm] $\{ |x|_p \mid x\in\IQ_p \} [/mm] = [mm] \{ p^k \mid k\in \IZ \}$
[/mm]
Damit hat p den größten Betrag, der noch kleiner als 1 ist, nämlich [mm] $|p|_p=p^{-1}$.
[/mm]
Diese Eigenschaft führt uns direkt zu einer Teilaussage des Satzes, der diese Einführung ausgelöst hat.
Sei nämlich x irgendeine p-adische Zahl und [mm] $|x|_p=p^{k}$ [/mm] ihr Betrag. Dann hat [mm] $u:=\frac{x}{|x|_p} [/mm] = [mm] p^{-k} [/mm] x$ den Betrag 1. Wir können also jede p-adische Zahl x darstellen als Produkt einer p-Potenz und einer Zahl vom Betrag 1: $x = [mm] p^k [/mm] u$.
Die Zahlen mit Betrag 1 sind gerade die Einheiten im Ring der p-adischen ganzen Zahlen. Denn da der Betrag des Kehrwertes einer p-adischen Zahl der Kehrwert des Betrages ist, kann der Kehrwert einer Zahl mit Betrag kleiner 1 keine p-adische ganze Zahl sein. Der Kehrwert einer Zahl mit Betrag 1 hat aber selbst Betrag 1, ist also ganz.
Die p-adischen ganzen Zahlen bilden als Teilring eines Körpers einen Integritätsring.
In Integritätsringen kann man nach Primelementen und irreduziblen Elementen fragen. Tun wir das: Betrachten wir ein beliebiges irreduzibles Element x von [mm] \IZ_p [/mm] (sofern darin überhaupt eines existiert).
Der Betrag von x ist größer als 0, aber kleiner als 1, sogar kleinergleich 1/p, weil 1/p der größte Betrag kleiner 1 ist. Wäre der Betrag von x kleiner als 1/p, also [mm] $|x|_p [/mm] = [mm] p^{-k}$ [/mm] mit $k>1$, dann wäre [mm] $|\frac{x}{p}|_p [/mm] = [mm] p^{-k}p^1 [/mm] = [mm] p^{-(k-1)}$ [/mm] mit [mm] $k-1\geq [/mm] 1$, also $x = [mm] \frac{x}{p} [/mm] p$ das Produkt zweier Nichteinheiten in [mm] \IZ_p, [/mm] und nicht irreduzibel.
Alle irreduziblen Elemente haben also den Betrag 1/p. Umgekehrt sieht man genauso, dass jedes Element mit Betrag 1/p irreduzibel ist.
Mit wenig Aufwand kann man auch zeigen, dass jedes Element mit Betrag 1/p sogar prim ist. Insbesondere ist p prim in [mm] \IZ_p.
[/mm]
Da Elemente mit gleichem Betrag in [mm] \IZ_p [/mm] assoziiert sind (ihr Quotient ist eine Einheit), gibt es im wesentlichen nur ein einziges Primelement, nämlich p. Das ist auch im wesentlichen das einzige irreduzible Element.
Das von p erzeugte (Prim-)Ideal besteht aus allen Elementen von [mm] \IZ_p, [/mm] deren Betrag kleiner als 1 ist, und damit aus allen Nichteinheiten. Wie gnometech schon schrieb, heißen Ringe mit dieser Eigenschaft lokale Ringe.
In Integritätsringen können wir auch Kongruenzen betrachten.
Zwei Elemente a,b von [mm] \IZ_p [/mm] heißen kongruent modulo einem Element m aus [mm] \IZ_p, [/mm] wenn ihre Differenz ein Vielfaches von m ist, in Zeichen:
[mm] $a\equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] m [mm] :\Leftrightarrow m\mid [/mm] (a-b)$
Speziell werden wir uns Kongruenzen modulo p ansehen, denn da gibt es einen engen Zusammenhang zu den Beträgen. Es gilt nämlich:
[mm] $a\equiv [/mm] b [mm] \pmod [/mm] p [mm] \Leftrightarrow |a-b|_p [/mm] < 1$.
Eine p-adische ganze Zahl, hat genau dann einen Betrag kleiner 1 und ist keine Einheit, wenn sie modulo p kongruent zu 0 ist.
Eine Einheit, die modulo p kongruent zu 1 ist, heißt 1-Einheit.
...
Jetzt würde ich gern begründen, dass jede p-adische ganze Zahl modulo p kongruent zu genau einer Zahl aus {0, ..., p-1} ist, aber ich komm nicht drauf.
Also nehmen wir diese extrem wichtige Aussage erstmal so hin.
...
Ist x eine Einheit, und a aus {1, ..., p-1} mit $a [mm] \equiv [/mm] x [mm] \pmod [/mm] p$, dann ist [mm] $\frac{x}{a}$ [/mm] eine 1-Einheit. Es ist also jede Einheit darstellbar als Produkt einer 1-Einheit und einer Zahl aus {1, ..., p-1}.
Damit wäre der Start-Satz bewiesen: Jede p-adische Zahl ist Produkt aus einer p-Potenz, einer Zahl aus {1, ..., p-1} und einer 1-Einheit. Dieser Satz ist aber weniger wichtig als der obige, der die Einheit noch nicht zerlegt hat.
Genausogut kann man aber nun anstatt durch a zu teilen, a subtrahieren. Ist x eine p-adische ganze Zahl, die modulo p kongruent zu a aus {0, ..., p-1} ist, dann ist x-a kongruent zu 0 modulo p, ist also ein Vielfaches von p. Teilen wir sie duch p, erhalten wir wieder eine p-adische ganze Zahl, mit der wir dasselbe anstellen können. Fahren wir so fort, erhalten wir für jedes n folgende Darstellung:
$x = [mm] x_0 [/mm] + [mm] p(x_1 [/mm] + [mm] p(x_2 [/mm] + [mm] p(x_3 [/mm] + ... [mm] (x_n [/mm] + p y)...))) = [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] p + [mm] x_2 p^2 [/mm] + ... + [mm] x_n p^n [/mm] + y [mm] p^{n+1}$
[/mm]
mit Zahlen [mm] x_0 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] aus {0, ..., p-1} und einer p-adischen ganzen Zahl y. Das sieht doch ganz nach einer Potenzreihenentwicklung aus, oder?
Da größere p-Potenzen kleinere Beträge haben, wird der Betrag von $y [mm] p^{n+1}$ [/mm] immer kleiner, und wenn wir diese Aufsplittung bis zum Grenzwert durchführen, erhalten wir tatsächlich eine Potenzreihe, die gegen x konvergiert:
$x = [mm] \sum_{i=0}^\infty x_i p^i$.
[/mm]
Nehmen wir nun eine beliebige p-adische Zahl x, mit der Zerlegung [mm] $p^k [/mm] u$ in eine p-Potenz und eine Einheit u, dann können wir u wie eben zerlegen, und die p-Potenz mit dieser Darstellung multiplizieren und erhalten eine Darstellung von x:
$x = [mm] \sum_{i=k}^\infty x_i p^i$
[/mm]
mit Zahlen [mm] x_i [/mm] aus {0, ..., p-1} und einer ganzen Zahl k.
Dies ist die Laurentreihendarstellung, mit der Kurt Hensel (1861-1941) damals im Jahr 1897 angefangen hat. Die Darstellung als Vervollständigung wurde 1912 von Josef Kürschak (1864-1933) gefunden.
Mit diesen Laurentreihen wollen wir nun endlich - im nächsten Beitrag - rechnen.
Bis dann,
SirJective
PS: Noch Fragen? *gg*
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:50 Do 05.08.2004 | | Autor: | SirJective |
So, nun da wir die Darstellung in Laurentreihen haben, geht's gleich los mit den Rechnungen.
Vorher müssen wir aber noch eine Schreibweise vereinbaren.
Die p-adische Zahl $x = [mm] \sum_{i=k}^\infty x_i p^i$ [/mm] schreiben wir so:
Falls k negativ ist: $x = [mm] \ldots x_n \ldots x_2 x_1 x_0 [/mm] . [mm] x_{-1} \ldots x_{k}$.
[/mm]
Falls k = 0 ist: $x = [mm] \ldots x_n \ldots x_2 x_1 x_0$.
[/mm]
Falls k positiv ist: $x = [mm] \ldots x_n \ldots x_k [/mm] 0 [mm] \ldots [/mm] 0$, mit k Nullen.
Das funktioniert mit unseren Dezimalziffern natürlich nur für p=2,3,5,7. Für größere p funktioniert es prinzipiell auch, man hat dieselben Möglichkeiten wie bei der gewöhnlichen adischen Darstellung natürlicher Zahlen (Buchstaben als Ziffern, Trennzeichen).
Für natürliche Zahlen stimmt die Potenzreihendarstellung mit ihrer p-adischen Darstellung überein. Für p=5 ist also
[mm] $13_{10} [/mm] = 2*5+3 = [mm] \ldots [/mm] 0 0 2 [mm] 3_5$.
[/mm]
Beachte, dass wir hier stets die Basis angeben, um Verwechslungen zu vermeiden.
Dass [mm] \IQ_p [/mm] nicht angeordnet werden kann, sieht man z.B. für p=5 an der Existenz einer Quadratwurzel von -1 in [mm] \IQ_5, [/mm] was im Widerspruch zu den Anordnungsaxiomen eines Körpers steht (siehe auch den Artikel Geordneter Körper in der Wikipedia).
Für weitere Beispiele und Berechnungen verweise ich auf folgendes
Dokument (72KB).
Alle Beispiele dort sind mit p=5 gerechnet, für andere p geht es aber prinzipiell genauso.
Frage: Wer rechnet nun die Beispiele nach und löst die dort gestellten Übungsaufgaben?
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo SirJective
nicht dass es aussieht, dass auch wir im Matheraum so undankbar sind wie zum Beispiel im OnlineMathe.de, will ich mich mal bedanken für deine grosse Mühe.
Ich habe das Dokument durchgearbeitet und die meisten Aufgaben gelöst (auf Papier, mit Bleistift, nach alter Väter Sitte). Das mit dem Dividieren muss ich mir allerdings nochmals ansehen...
Ich habe selbstverständlich das Ganze mit dem Zweierkomplement vor x Jahren geübt, nur war mir damals der Zusammenhang mit p-adischen Zahlen überhaupt nicht bewusst.
Auch habe ich im Van der Waerden (Algebra II) ein Kapitel über bewertete Körper nachgelesen (noch nicht ganz begriffen, kommt schon noch), wo die Sache mit den p-adischen Zahlen thematisiert wird. Ich habe bisher in Algebra II nur geschnuppert, weshalb ich diese Sache noch nicht kannte.
Was ich besonders schön und überraschend finde, ist, dass die Zahl [mm] $\wurzel{-1}$ [/mm] sich ganz natürlich, ohne Ausweichen auf neue Buchstaben wie "i", sich ins System einfügt.
Ich habe auch das Babylonische Verfahren für das Wurzelziehen auf die Zahl $-1$ angewendet, aber das konvergiert leider nicht, was ja auch nicht weiter erstaunt, da die "normale" Metrik ja versagt.
Irgendwie erinnert mich die Sache mit den Beträgen übrigens an die "Inversion am Einheitskreis".
Mein Versuch, die Zahlen irgendwie graphisch darzustellen, und zwar so, dass Zahlen mit gleichem Betrag auch optisch danach aussehen, entsprechend der Gaussschen Zahlenebene bei Komplexen Zahlen oder der Riemannkugel ist bisher noch nicht von Erfolg gekrönt. Kennst du eine solche Darstellung?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 13.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Paulus,
> nicht dass es aussieht, dass auch wir im Matheraum so
> undankbar sind wie zum Beispiel im OnlineMathe.de, will ich
> mich mal bedanken für deine grosse Mühe.
Gern geschehen, es macht mir selbst Spaß.
> Ich habe das Dokument durchgearbeitet und die meisten
> Aufgaben gelöst (auf Papier, mit Bleistift, nach alter
> Väter Sitte). Das mit dem Dividieren muss ich mir
> allerdings nochmals ansehen...
Ja, Dividieren ist "etwas anders", und ich hab es kürzlich wieder ausprobiert: Wenn die Division "aufgeht", funktioniert sie auch im gewöhnlichen Dezimalsystem (allerdings ist der Verfahren dann nur eindeutig, wenn die Endziffer des Divisors 1, 3, 7 oder 9 ist, also teilerfremd zur Basis 10).
> Ich habe selbstverständlich das Ganze mit dem
> Zweierkomplement vor x Jahren geübt, nur war mir damals der
> Zusammenhang mit p-adischen Zahlen überhaupt nicht
> bewusst.
In Java gibt es die Klasse java.math.BigInteger, die von außen wie eine potentiell unbegrenzte Binärzahl im Zweierkomplement ist: Will man sie binärziffernweise ausgeben, tut sie so als hätte eine negative Zahl eine führende 1-Periode.
> Auch habe ich im Van der Waerden (Algebra II) ein Kapitel
> über bewertete Körper nachgelesen (noch nicht ganz
> begriffen, kommt schon noch), wo die Sache mit den
> p-adischen Zahlen thematisiert wird. Ich habe bisher in
> Algebra II nur geschnuppert, weshalb ich diese Sache noch
> nicht kannte.
Von van der Waerden hab ich schon gehört, allerdings hab ich es nicht gelesen. Meine Literatur sind Serre (A course in arithmetics) und Cassels (Local fields). Hab aber schon gehört, dass van der Waerden eine vergleichsweise einfache Einführung geben soll.
> Was ich besonders schön und überraschend finde, ist, dass
> die Zahl [mm]\wurzel{-1}[/mm] sich ganz natürlich, ohne Ausweichen
> auf neue Buchstaben wie "i", sich ins System einfügt.
Ja, da sie (für alle p die modulo 4 kongruent zu 1 sind) bereits Element von [mm] \IQ_p [/mm] ist. Alle anderen [mm] \IQ_p [/mm] allerdings enthalten keine Quadratwurzel von -1. Da ist man also auf eine Erweiterung dieser Körper angewiesen, z.B. [mm] \IQ_3(i) [/mm] als quadratische Erweiterung von [mm] \IQ_3. [/mm] Üblicherweise bezeichnet man eine der beiden Quadratwurzeln mit i, egal ob sie bereits drin liegt oder nicht.
> Ich habe auch das Babylonische Verfahren für das
> Wurzelziehen auf die Zahl [mm]-1[/mm] angewendet, aber das
> konvergiert leider nicht, was ja auch nicht weiter
> erstaunt, da die "normale" Metrik ja versagt.
Das erstaunt mich nicht. Das Newton-Verfahren zur Nullstellensuche funktioniert allerdings, wenn man einen "hinreichend nahen" Startwert hat. (Siehe dazu meine noch zu schreibenden Antwort für Stefan.)
> Irgendwie erinnert mich die Sache mit den Beträgen übrigens
> an die "Inversion am Einheitskreis".
Mich bisher nicht *g*
> Mein Versuch, die Zahlen irgendwie graphisch darzustellen,
> und zwar so, dass Zahlen mit gleichem Betrag auch optisch
> danach aussehen, entsprechend der Gaussschen Zahlenebene
> bei Komplexen Zahlen oder der Riemannkugel ist bisher noch
> nicht von Erfolg gekrönt. Kennst du eine solche
> Darstellung?
Mir ist keine Einbettung der p-adischen Zahlen in einen endlichdimensionalen euklidischen Raum bekannt. Das wird allein dadurch schon schwierig, weil jedes p-adische Dreieck (bestehend aus drei verschiedenen Punkten und ihren paarweisen Abständen) gleichschenklig ist, wobei die Basis kleiner oder gleich den Schenkeln ist. (Folgt aus der nichtarchimedischen Eigenschaft des Betrages.)
Die p-adischen ganzen Zahlen kann man sich aber als unendlich langen Baum darstellen.
Der Wurzelknoten auf Höhe 0 ist [mm] \IZ_p, [/mm] steht also für alle p-adischen ganzen Zahlen.
Darunter liegen die Knoten [mm] $a_0 [/mm] + p [mm] \IZ_p, a_0=0,...,p-1$ [/mm] auf Höhe 1. Unter jedem dieser Knoten liegt [mm] $a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] p + [mm] p^2 \IZ_p, a_1=0,...,p-1$ [/mm] auf Höhe 2. So geht weiter, ad infinitum.
Jeder p-adischen Zahl ist dann umkehrbar eindeutig ein absteigender Pfad - die Wurzel ist wie immer oben *g* - in diesem Baum zugeordnet. Obwohl der Baum nur abzählbar viele Knoten hat, enthält er überabzählbar viele Pfade.
Haben wir zwei Zahlen vorgegeben, dann haben sie irgendwo einen "untersten gemeinsamen Knoten". Dessen Höhe ist die Exponentenbewertung ihres Abstandes, nehmen wir die als Exponenten von 1/p, dann erhalten wir den p-adischen Abstand der beiden Zahlen.
Diese Vorstellung halb mir, bestimmte topologische Eigenschaften zu verstehen. Zum Beispiel sind die Knoten, wenn wir sie mit der Menge aller sie durchlaufenden Pfade identifizieren, offene Mengen, und zwar sind sie genau die offenen Kugeln.
Gruss,
SirJective
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