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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Ich habe ein großes Problem damit mir die Definition von kompakt mit den Überdeckungen zu veranschaulichen.
Ein topoligischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.
Wenn ich mir das an einem einfachen Bsp. wie zB. [0,1] [mm] \subset\IR [/mm] veranschaulichen will scheitere ich schon daran, dass ich die beiden Randpunkte nicht mit rein bekomme, da die Teilintervalle ja dann nicht mehr offen wären, da ich um den "Randpunkt" keine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] legen kann, so dass deren "Inhalt" aus der Teilmenge ist.
Und bei der Teilüberdeckung scheitere ich mit dem vorstellen daran, dass ich [0,1] doch eigentlich in beliebig kleine Intervalle zerlegen kann, so dass [0,1] nicht mehr "komplett" ist wenn ich eines raus lasse.
Wenn mir hier jmd helfen könnte und meine Vorstellung etwas klarer machen wäre mir sehr geholfen.
Gruß Zerwas
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> Ich habe ein großes Problem damit mir die Definition von
> kompakt mit den Überdeckungen zu veranschaulichen.
> Ein topoligischer Raum heißt kompakt, wenn jede offene
> Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.
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> Wenn ich mir das an einem einfachen Bsp. wie zB. [0,1]
> [mm]\subset\IR[/mm] veranschaulichen will scheitere ich schon daran,
> dass ich die beiden Randpunkte nicht mit rein bekomme, da
> die Teilintervalle ja dann nicht mehr offen wären, da ich
> um den "Randpunkt" keine [mm]\varepsilon-Kugel[/mm] legen kann, so
> dass deren "Inhalt" aus der Teilmenge ist.
Du musst unterscheiden zwischen dem Offensein einer Menge in [mm] $\IR$ [/mm] (mit der üblichen Topologie) und deren Offensein in $[0;1]$ (versehen mit der "Spurtopologie" bezüglich [mm] $\IR$). [/mm] Die offenen Mengen des topologischen (Teil-)Raumes $[0;1]$ sind nichts anderes als die Durchschnitte offener Mengen von [mm] $\IR$ [/mm] mit $[0;1]$. Insbesondere ist also z.B. das Intervall [mm] $[0;1/2[\;\;=\;\;]-1/2;1/2[\;\cap \;[0;1]$ [/mm] eine bezüglich $[0;1]$ offene Menge. Aber, zugegeben, dies ist keine offene Menge bezüglich [mm] $\IR$.
[/mm]
> Und bei der Teilüberdeckung scheitere ich mit dem
> vorstellen daran, dass ich [0,1] doch eigentlich in
> beliebig kleine Intervalle zerlegen kann, so dass [0,1]
> nicht mehr "komplett" ist wenn ich eines raus lasse.
Dann versuch doch mal, diese angeblich offene Überdeckung von $[0;1]$, zu der keine endliche Teilüberdeckung existiert, explizit anzugeben 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
ahhhh jetzt ja ;)
Okay jetzt ist klar was das bedeuted ... und damit auch warum ich das nicht so zerlegen kann wie ich mir gedacht habe und warum die Randpunkte sich doch einschließen lassen :)
Danke :)
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