funktionenreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 02.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallöchen
ich habe schwierigkeiten bei dieser aufgabe:
geben sie eine begründete antwort auf die frage ob die funktionsreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (sin(x)*cos(x))^k [/mm] auf [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] gleichmäßig konvergiert.Hinweis:sin pi/4=cos [mm] pi/4=1/\wurzel{2}
[/mm]
Das müsste ja dann das gemeinsame supremum sein oder?kann man das dann zu eine konvergenten majorante basteln oder so?
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mi 02.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo mini111,
du liegst mit deiner Vermutung schon ganz richtig. Um eine Majorante zu inden, musst du den Betrag von sin(x)cos(x) abschätzen. Betrachte die Funktion g(x) = sin(x)cos(x) . Die hat bei x = [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] eine Maximalstelle, des Maximum ist [mm] \frac{1}{2} [/mm] (Verwendung von erster und zweiter Ableitung, wie üblich!).
Damit kannst du jedes Glied der Funktionenreihe durch [mm] \frac{1}{2^k} [/mm] majorisieren, das ist aber gerade eine geometrische Reihe, also konvergent.
Die Wert der gegebenen Funktionenreihe ist somit immer [mm] \le [/mm] 2 !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Do 03.04.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
also erstmal danke für deine hilfe aber so ganz verstanden habe ichs leider noch net.also du sagtest ja das man durch die übliche extrmwertbestimmung auf [mm] x=\pi/4 [/mm] als extremum kommt aber wenn man die 2 ersten ableitungen bildet also
f'(x)=-cos(x)*sin(x) für die =0 bekomme ich x= [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi,wobei \pi [/mm] ja nicht DB liegt.also habe ich jetzt [mm] \pi/2 [/mm] in die 2. ableitung eingesetzt,also [mm] f"(\pi/2)=sin(\pi/2)*cos(\pi/2)=0 [/mm] deshalb verstehe ich jetzt nicht ganz wie man auf [mm] x=\pi/4 [/mm] kommt,durch die ableitungen.?
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Do 03.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also erstmal danke für deine hilfe aber so ganz verstanden
> habe ichs leider noch net.also du sagtest ja das man durch
> die übliche extrmwertbestimmung auf [mm]x=\pi/4[/mm] als extremum
> kommt aber wenn man die 2 ersten ableitungen bildet also
> f'(x)=-cos(x)*sin(x) für die =0 bekomme ich x= [mm]\pi/2[/mm] und
> [mm]\pi,wobei \pi[/mm] ja nicht DB liegt.
Deine Ableitung stimmt nicht.
$$ f'(x) = [mm] \cos^2(x) [/mm] - [mm] \sin^2(x) [/mm] $$
Übrigens kannst du das noch einfacher rechnen, wenn du bedenkst, dass
$$ [mm] \sin(x) \cos(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \sin(2x) [/mm] $$
ist.
Viele Grüße
Rainer
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