beidseitig (?) Hypothesetest < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Do 04.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Ein Hersteller von Glühbirnen behauptet, dass höchstens 8% einer bestimmten Sorte von Glühbirnen eine Brenndauer von weniger als 1400 Stunden haben. Der laufenden Produktion werden 140 Glühbirnen zufällig entnommen. 13 der Birnen weisen eine Brenndauer von weniger als 1400 Stunden auf. Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% dass die Herstellerangabe nicht stimmt? |
[mm] $H_{0}: [/mm] A [mm] \ge [/mm] 1400$
[mm] $H_{1}: [/mm] A < 1400$
$ k=6$ Obwohl ich mir nicht sicher bin, ob es jetzt $-1.645$ oder $1.645$ ist, bei der Berechnung des kritischen Wertes... Gibt es dazu einen Trick?
Demnach würde der Hersteller Recht behalten?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo!
> Ein Hersteller von Glühbirnen behauptet, dass höchstens
> 8% einer bestimmten Sorte von Glühbirnen eine Brenndauer
> von weniger als 1400 Stunden haben. Der laufenden
> Produktion werden 140 Glühbirnen zufällig entnommen. 13
> der Birnen weisen eine Brenndauer von weniger als 1400
> Stunden auf. Kann man daraus mit einer
> Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% dass die Herstellerangabe
> nicht stimmt?
> [mm]H_{0}: A \ge 1400[/mm]
> [mm]H_{1}: A < 1400[/mm]
>
> [mm]k=6[/mm] Obwohl ich mir nicht sicher bin, ob es jetzt [mm]-1.645[/mm]
> oder [mm]1.645[/mm] ist, bei der Berechnung des kritischen Wertes...
> Gibt es dazu einen Trick?
Erstmal ein Hinweis: Außer mit und einigen wenigen "Eingeweihten" weiß wahrscheinlich niemand, was du mit k = 6 ausdrücken willst; du solltest einen konkreten Bereich angeben und auch, was der Bereich bedeutet (nicht nur "Ablehnbereich" bitte, ich weiß nicht genau, ob dann Null- oder Alternativhypothese "abgelehnt" wird).
Hier hast du dich mit den Hypothesen vertan - in der Aufgabe geht es nicht um die Stunden, sondern um die Anzahl der Glühbirnen. Du solltest dir immer vorher klar machen, was deine Prüfvariable ist, und wie sie verteilt ist.
Hier ist wieder:
X = Anzahl der Glühbirnen mit Brenndauer von weniger als 1400 Stunden
die Prüfvariable, und diese ist (wie oft) binomialverteilt. Warum: Pro Glühbirne wird nur zwischen "brennt weniger als 1400 Stunden" oder "brennt mehr (oder gleich) als 1400 Stunden" unterschieden, und für jede Glühbirne wird dieses Experiment unabhängig voneinander durchgeführt.
[mm] H_{0}: [/mm] Die Verkäuferaussage: Höchstens 8% der Glühbirnen brennen weniger als 1400 Stunden.
[mm] H_{1}: [/mm] Mehr als 8% der Glühbirnen brennen weniger als 1400 Stunden.
Die beiden Hypothesen geben im Grunde zwei verschiedene Möglichkeiten an, wie das X der Stichprobe verteilt sein könnte.
Es ist auf jeden Fall binomialverteilt mit n = 140 (140 Glühbirnen werden getestet). Sollte nun aber [mm] H_{0} [/mm] stimmen, so wäre p [mm] \le [/mm] 0.08, sollte [mm] H_{1} [/mm] stimmen, so wäre p>0.08.
Deswegen erhält man im Grunde die beiden Hypothesen:
[mm] $H_{0}:p\le [/mm] 0.08$
[mm] $H_{1}:p>0.08$
[/mm]
So, nun wieder zu den Bereichen. Dieses Mal sind die Hypothesen umgekehrt im Vergleich zu den vorherigen Beispielen, die du hattest (bei [mm] H_{0} [/mm] steht ein [mm] \le [/mm] und kein [mm] \ge [/mm] ).
Der Annahmebereich für die Alternativhypothese sieht dann so aus:
(k,...,n) = (k,...,140).
Wir haben nun wieder die Angabe Fehler 1. Art = 0.05, also soll für das k gelten:
$P(X [mm] \in [/mm] (k,...,140)) = P(X [mm] \ge [/mm] k) [mm] \red{\le} [/mm] 0.05$
Nun machen wir ausnahmsweise mal wieder Normalapproximation  :
$0.05 [mm] \red{\ge} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] k-1)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] P(X [mm] \le [/mm] k-1) [mm] \red{\ge} [/mm] 0.95$
Also:
[mm] $\mu [/mm] = n*p = 140*0.08 = 11.2$
[mm] $\sigma [/mm] = 3.21$
$0.95 [mm] \red{\le} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] k-1) = [mm] P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le \frac{k-1 -\mu}{\sigma}\right) \approx P\left(Z\le \frac{k-1 +0.5 -\mu}{\sigma}\right) [/mm] = [mm] \Phi\left( \frac{k-1 +0.5 -\mu}{\sigma}\right)$
[/mm]
Also:
$1.64485 [mm] \red{\le} \frac{k-1 +0.5 -\mu}{\sigma}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] k [mm] \red{\ge} [/mm] 16.97$
Nun folgt daraus nicht wie vorher bei den anderen Aufgaben k = 16, sondern k = 17. Damit du das erkennst, habe ich mal die "Ungleich"-Relationszeichen durch die Rechnung gezogen, die eigentlich immer dastehen müssten. (Der Fehler 1. Art soll höchstens 0.05 betragen!)
Also erhalten wir als Bereich für die Annahme der Alternativhypothese: (17,...,140).
Bei exakter Rechnung (also mit Binomialverteilung) hätten wir erhalten: (18,...,180)
So oder so ist aber die 13 nicht drin, das heißt man würde sich für die Nullhypothese entscheiden und dem Hersteller recht geben.
Das war jetzt noch einmal die etwas ausführlichere Variante, hoffe, sie beschafft dir ein paar Geistesblitze 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Fr 05.03.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke dir 1000mals für deine ausgiebigen und lehrreichen Erklärungen und Korrekturen!
Dankeschön!
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