Wurzelziehen im Körper < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mi 09.11.2005 | | Autor: | AgentLie |
Hallo! Ich hab mal wieder eine kleine Frage zu meinem Analysis Aufgabenzettel.
Es sei K ein geordneter Körper, in dem eindeutige (positive) Quadratwurzeln existieren, d.h. zu jedem a [mm] \in [/mm] K, a [mm] \ge [/mm] 0, gibt es genau ein a' [mm] \in [/mm] K mit a' [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] (a')^{2} [/mm] = a (Schreibweise a' = [mm] \wurzel[2]{a} [/mm] ). Zeige
0 [mm] \le [/mm] x < y [mm] \Rightarrow \wurzel[2]{x} [/mm] < [mm] \wurzel[2]{y}
[/mm]
Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt für mich in der Richtung des Pfeiles. Bei gegengesetzter Pfeilrichtung wäre das ganze sehr einfach. Ich habe mal von einem Beweis mit Negation gehört, bin mir aber nicht ganz sicher ob ich das richtig verstanden hab.
So weit ich weiß geht das folgendermaßen: Wenn gilt: A [mm] \Rightarrow [/mm] B, dann gilt auch [mm] \neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B. Wenn man das auf die Aufgabe anwendet hat man [mm] \wurzel[2]{y} \le \wurzel[2]{x} \rightarrow [/mm] y [mm] \le [/mm] x, was relativ einfach zu beweisen ist. Darf man das so machen, oder eher nicht?
Vielen Dank schon für die ersten Antworten und gute Nacht!
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Hallo AgentLie,
> Es sei K ein geordneter Körper, in dem eindeutige
> (positive) Quadratwurzeln existieren, d.h. zu jedem a [mm]\in[/mm]
> K, a [mm]\ge[/mm] 0, gibt es genau ein a' [mm]\in[/mm] K mit a' [mm]\ge[/mm] 0 und
> [mm](a')^{2}[/mm] = a (Schreibweise a' = [mm]\wurzel[2]{a}[/mm] ). Zeige
>
> 0 [mm]\le[/mm] x < y [mm]\Rightarrow \wurzel[2]{x}[/mm] < [mm]\wurzel[2]{y}[/mm]
>
> Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt für mich in der
> Richtung des Pfeiles. Bei gegengesetzter Pfeilrichtung wäre
> das ganze sehr einfach. Ich habe mal von einem Beweis mit
> Negation gehört, bin mir aber nicht ganz sicher ob ich das
> richtig verstanden hab.
>
> So weit ich weiß geht das folgendermaßen: Wenn gilt: A
> [mm]\Rightarrow[/mm] B, dann gilt auch [mm]\neg[/mm] A [mm]\Rightarrow \neg[/mm] B.
Das ist nicht richtig.
Richtig hingegen ist [mm]\neg[/mm]B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A.
[mm]A\; \Rightarrow \;B\;: = \;\neg A\; \vee \;B\; = \;B\; \vee \;\neg A\; = :\;\neg B\; \Rightarrow \;\neg A[/mm]
> Wenn man das auf die Aufgabe anwendet hat man [mm]\wurzel[2]{y} \le \wurzel[2]{x} \rightarrow[/mm]
> y [mm]\le[/mm] x, was relativ einfach zu beweisen ist. Darf man das
> so machen, oder eher nicht?
Das darf man so machen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 10.11.2005 | | Autor: | AgentLie |
Ok, vielen dank für die Antwort. Kann man das irgendwie logisch erklären, warum man bei der Negation einer Aussage die Kongruenzpfeile umdrehen darf?
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