Vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist: 3*3!+4*4!+...+n*n! = (n+1)!-6 und n[mm]\ge[/mm]3
für n=3 gilt dann: 18 = 18
Damit ist die Induktionsvoraussetzung erfüllt. Jetzt wird aus n=n+1
Dann gilt: 3*3!+4*4!+...+n*n!+(n+1)*(n+1)!=(n+1+1)!-6
Da n*n!=(n+1)!-6
gilt jetzt:3*3!+4*4!+...+(n+1)!-6+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-6
oder auch:3*3!+4*4!+...+(n+1)!-6+(n+1)*(n+1)!=n!*(n+1)*(n+2)-6
Zu zeigen ist also, dass: (n+1)!-6+(n+1)*(n+1)!=n!*(n+1)*(n+2)-6
da (n+1)!=n!*(n+1) ist: (n!*(n+1)-6)+((n+1)*n!*(n+1))=n!*(n+1)*(n+2)-6
|
Frage 1: Ist das soweit korrekt?
Frage 2: Wie geht es jetzt weiter. Muss ja irgendwie auf die rechte Formel n!*(n+1)*(n+2) kommen, oder habe ich einen Denkfehler?
Mit den Zahlen eingesetzt funktioniert es....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yogi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast die Induktionsvoraussetzung falsch verstanden / eingesetzt. Gemäß Aufgabenstellung gilt:
$$3*3!+4*4!+...+n*n! \ = \ [mm] \summe_{k=3}^{n}k*k! [/mm] \ = \ (n+1)!-6$$
Und im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass: [mm] $\summe_{k=3}^{n+1}k*k! [/mm] \ = \ (n+2)!-6$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Dann heißt also die Induktionsvoraussetzung:
(n*n)!+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-6
|
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 21.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Dann heißt also die Induktionsvoraussetzung:
Nein das ist die Induktions -Behauptung!
> (n*n)!+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-6
die Induktionsvors ist
[mm] \summe_{i=1}^{n}i*i!=(n+1)!-6
[/mm]
Du musst also zeigen:
n*n!+(n+1)*(n+1)=(n+2)!-6
und einsetzen darfst du die Ind.Vors.
also am besten setz die links ein, und versuch durch geschicktes Umformen (ausklammern) auf die rechte Seite zu kommen.
vielleicht richtig gemeint, aber falsch formuliert.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yogi!
> Dann heißt also die Induktionsvoraussetzung:
> (n*n)!+(n+1)*(n+1)!=(n+2)!-6
Wie leduart schon schrieb, ähnelt das der Induktionsbehauptung. Aber da fehlen doch noch die ersten Summanden $3*3!+4*4!+5*!+...+(n-1)*(n-1)!$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Wie leduart schon schrieb, ähnelt das der Induktionsbehauptung. Aber da fehlen doch noch die ersten Summanden 1*1!+2*2!+3*3!+...+(n-1)*(n-1)! .
|
Dann heißt also die vollständige Induktionsbehauptung:
3*3!+4*4! + ... + n*n! + (n+1)*(n+1)! = (n+2)!-6
da n*n! = (n+1)!-6 ergibt sich dann:
3*3!+4*4! + ... + (n+1)!-6 + (n+1)*(n+1)! = (n+2)!-6
und (n+2)!-6 ist doch nichts anderes wie n!*(n+1)*(n+2)-6
so komme ich auf:
3*3!+4*4! + ... + (n+1)!-6 + (n+1)*(n+1)! = n!*(n+1)*(n+2)-6
oder verkürzt: (n+1)!-6 + (n+1)*(n+1)! = n!*(n+1)*(n+2)-6
Das müsste doch jetzt richtig sein, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yogi!
Die Induktionsvorausbehauptung ist nun richtig. Aber die Induktionsvoraussetzung lautet (ebenfalls mit allen Summanden):
$$3*3!+4*4!+5*5!+...+n*n! \ = \ (n+1)!-6$$
Das heißt also im Induktionsschritt:
[mm] $$\blue{3*3!+4*4!+5*5!+...+n*n!}+(n+1)*(n+1)! [/mm] \ = \ [mm] \blue{(n+1)!-6}+(n+1)*(n+1)! [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
ja, dann heißt es doch:
(n+1)!-6 + (n+1)*(n+1)!=(n+2)!-6
wie forme ich jetzt den linken Term so um, dass dabei (n+2)!-6 rauskommt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo yogi!
Klammere $(n+1)!_$ aus (den Term $-6_$ mal außen vor gelassen).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Habe ich schon probiert (n+1)! auszuklammern. da liegt aber mein Problem in der Fakultätendarstellung. Wie sieht denn das aus, wenn ich (n+1)! ausklammere?
|
|
|
| |
|
Hallo Jörn,
du hattest [mm] $(n+1)!-6+(n+1)\cdot{}(n+1)!$
[/mm]
Schreiben wir die -6 ganz nach hinten:
[mm] $=\left[(n+1)!+(n+1)\cdot{}(n+1)!\right]-6$
[/mm]
[mm] $=\left[\blue{1}\cdot{}\red{(n+1)!}+\blue{(n+1)}\cdot{}\red{(n+1)!}\right]-6$
[/mm]
Nun $(n+1)!$ ausklammern:
[mm] $=\red{(n+1)!}\cdot{}\left[\blue{1}+\blue{(n+1)}\right]-6$
[/mm]
[mm] $=\left[(n+1)!\cdot{}(n+2)\right]-6=(n+2)!-6$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Fr 21.03.2008 | | Autor: | yogi35_JZ |
Danke!
|
|
|
|
