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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich muss ein paar Aufgaben lösen und komm einfach nicht weiter.
1. Seinen V ein Vektorraum und U,V Unterräume. Zeige
U+W=U [mm] \gdw [/mm] W [mm] \subset [/mm] V
(Ist bestimmt ganz einfach, aber ich komm einfach nicht drauf)
2. Sei K ein Körper. Seine V = K² und
U= [mm] \{\vektor{x\\y} :y=0 \}, [/mm] W = [mm] \{\vektor{x \\ y}:x+y=0 \}
[/mm]
Unterräume von V. Zeige, dass V = [mm] \oplus [/mm] W.
3. Seinen V ein Vektorraum und [mm] U_{1}, U_{2}, [/mm] W [mm] \subset [/mm] V Unterräume. Beweise oder widerlege: [mm] U_{1}+W [/mm] = [mm] U_{2}+W \Rightarrow U_{1} [/mm] = [mm] U_{2}.
[/mm]
Schon mal Danke für eure Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Annette!
zu 1.:
Du meinst sicher U und W Unterräume von V und dementsprechend W Teilmenge von U, wenn U+W=U, anderenfalls macht die Aufgabe wenig Sinn und die Aussage ist sogar falsch.
Also dann, auf geht's!
Zu zeigen haben wir (weil ja Äquivalenz postuliert wurde) 2 Implikationen:
Die erste ist:
Sind U und W lineare Unterräume von V und U+W=U, so ist W Teilmenge von U.
Dazu müssen wir zeigen, daß, wenn x in W liegt, es auch ganz sicher in U liegt.
Das ist nun wieder beinahe trivial, denn weil U linearer Unterraum LUR ist,
so ist [mm]0 \in U[/mm]. Daher ist aber auch jedes Element x aus W schreibbar als x+0 und damit ist [mm]x \in W+U[/mm] und damit auch, laut Voraussetzung [mm]x \in U[/mm].
Jetzt fehlt noch die umgekehrte Implikation, nämlich: Wenn U,W LURe und [mm]W \subset U[/mm], so gilt U+W=U.
Dazu haben wir zur Verfügung, daß U und W lineare Unterräume sind und deshalb das Unterraumkriterium erfüllen müssen, welches da wäre:
M nicht leer und für alle a,b aus M, k aus K gilt
[mm]a+b \in M[/mm]
[mm]ka \in M[/mm].
Was wir zeigen wollen, ist ja eine Gleichheit von Mengen. Diese zeigen wir am Besten über doppelte Inklusion, zuerst also:
[mm]U \subset U+W[/mm]:
Sei [mm]u \in U[/mm]: Dann ist u (weil U LUR) schreibbar als: u+0. Da 0 aber ebenso [mm] \in W[/mm] sein muß, ist [mm]u \in U+W[/mm].
Bleibt die zweite Inklusion übrig:
[mm]U+W \subset U[/mm].
Sei [mm]v \in U+W[/mm]. Dann können wir v schreiben als u+w mit [mm]u \in U[/mm] und [mm]w\in W[/mm]. Da aber [mm]W \subset U[/mm] und damit insbesondere auch [mm]w \in U[/mm] ist und U, wie sooft erwähnt, ein LUR ist, so gilt [mm]v \in U[/mm].
Und damit sind wir auch schon fertig. Zumindest mit dieser Aufgabe.
Zu 2.: Da hab ich eine Frage: was meint die Schreibweise [mm]W= \oplus V[/mm]?
Zu 3.:
Sei [mm]V=\IR^3[/mm]. Dann sind die Geraden [mm]U_1=\{(x,0,0)|x \in \IR \}[/mm], [mm]U_2=\{(0,x,0)|x \in \IR \}[/mm] und die Ebene [mm]W=\{(x,y,0)|x,y \in \IR \}[/mm] lineare Unterräume von V, insbesondere aber ist
[mm]U_1 \not=U_2[/mm] und [mm]U_1+W=U_2+W=W[/mm], was ein Gegenbeispiel für die angenommene Aussage ist.
Übrig bleibt noch zu zeigen, daß die Geraden und Ebenen, die ich genannt habe, tatsächlich lineare Unterräume sind und [mm]U_1+W=U_2+W=W[/mm] überhaupt gilt. Aber ein bißchen was sollst Du ja auch zu tun haben  , und schwer ist das nun wirklich nicht.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Nette |
zu 3)
Müsste das nicht heißen: [mm] U_{2}= [/mm] {(0,y,0)...} heißen?
Gruß Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Annette,
> zu 3)
> Müsste das nicht heißen: [mm]U_{2}=[/mm] {(0,y,0)...} heißen?
Das macht doch keinen Unterschied. Du kannst da vieles hinschreiben:
[mm] $U_2=\{(0,x,0)|x \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,y,0)|y \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,a,0)|a \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,r,0)|r \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,p,0)|p \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,\alpha,0)|\alpha \in \IR\}$
[/mm]
oder
[mm] $U_2=\{(0,\beta,0)|\beta \in \IR\}$
[/mm]
oder
...
Die Mengen sind alle gleich!
Oder verstehe ich deine Frage falsch?
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Marcel,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Hat mir echt geholfen.
Ich hatte meine Lösung angefangen, bevor ich deine Antwort hier gelesen habe, deshalb...Aber das kommt ja am Ende auf das selbe raus.
Die Aufgabe ist eigentlich gar nicht so schwer, aber irgendwie find ich die Umstellung von Mathe in der Schule auf Mathe an der Uni total schwierig. Ist irgendwie ne andere Denk-/Vorgehensweise.
Aber zum Glück gibt es ja dieses Forum mit sehr netten, hilfsbereiten Menschen. 
Also danke noch mal.
Gruß Annette
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi Marcel!
Ja stimmt ja eigentlich schon. (Muss dir ja Recht geben ).
Ich hab aber noch nen Problem.
Ich weiß nicht, wie ich formal aufschreiben soll, dass gilt:
[mm] U_{1}+W= U_{2}+W [/mm] = W
(Mir ist das eigentlich schon klar, warum das so ist).
Gruß Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nette!
Die Aussage
[mm] $U_1 [/mm] + W = [mm] U_2 [/mm] + W = W$
folgt sofort aus Aufgabe 1, da [mm] $U_1$, $U_2$ [/mm] und $W$ Unterräume von $V= [mm] \IR^3$ [/mm] sind und offenbar:
[mm] $U_1 \subset [/mm] W$ (und damit nach 1): [mm] $U_1+ [/mm] W = W$)
sowie
[mm] $U_2 \subset [/mm] W$ (und damit nach 1): [mm] $U_2+ [/mm] W=W$)
gilt.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ok. Danke.
Schön, dass hier die Fragen so schnell beantwortet werden.
Gruß
Annette
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Do 11.11.2004 | | Autor: | Nette |
Vielen Dank für die Lösung. Ja, bei der ersten hab ich mich verschrieben.
Und bei der Zweiten hab nen Buchstaben vergessen, beherrsch das hier irgendwie noch nicht so richtig.
Das soll heißen: V = U [mm] \oplus [/mm] W
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Annette,
bei der 2) hast du folgendes zu tun:
Zunächst mußt du auch mal nachrechnen/begründen/beweisen, dass $U$ und $V$ auch tatsächlich Unterräume des [mm] $K^2$ [/mm] sind (das ist eine versteckte Aussage in der Aufgabe!).
Wenn du das nun getan hast, dann musst du folgendes nachweisen:
Jeder Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2} \in K^2$ [/mm] läßt sich darstellen als Summe zweier Vektoren [m]\hat{u},\hat{v}[/m] mit [mm] $\hat{u} \in [/mm] U$, [mm] $\hat{v} \in [/mm] V$. Da es aber eine direkte Summe sein soll, heißt das zusätzlich, dass diese Vektoren [mm] $\hat{u}$ [/mm] und [mm] $\hat{v}$ [/mm] eindeutig bestimmt sind.
D.h.: Zu jedem Vektor $x [mm] \in K^2$ [/mm] gibt es genau ein [mm] $\hat{u} \in [/mm] U$ und genau ein [mm] $\hat{v} \in [/mm] V$, so dass die Gleichung [mm] $x=\hat{u}+\hat{v}$ [/mm] erfüllt ist.
Dazu ein paar Vorbemerkungen:
(I) Jeder Vektor des [mm] $K^2$ [/mm] ist von der Form:
[mm] $\vektor{x_1\\x_2}$ [/mm] mit [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] K$
und jeder Vektor dieser Form ist auch Element des [mm] $K^2$.
[/mm]
(II) Jeder Vektor aus $U$ hat die Form:
[mm] $\vektor{u\\0}$ [/mm] mit $u [mm] \in [/mm] K$ und jeder Vektor dieser Form ist auch Element von $U$. (Warum?)
[Beachte dabei, dass für die $0$ in der zweiten Komponente des Vektors gilt: $0 [mm] \in [/mm] K$. Die $0$ ist hier also das neutrale Element von $K$ bzgl. der Addition (in $K$).]
(III) Jeder Vektor aus $V$ hat die Form:
[mm] $\vektor{v\\-v}$ [/mm] mit $v [mm] \in [/mm] K$ und jeder Vektor dieser Form ist auch Element von $V$. (Warum? Was ist hier $-v$?)
Nehmen wir also einen Vektor des [mm] $K^2$ [/mm] her:
Sei also [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2} \in K^2$ [/mm] beliebig, aber fest. Wir haben nun zu zeigen:
Dann gibt es eindeutig bestimmte [mm] $\hat{u} \in [/mm] U$, [mm] $\hat{v} \in [/mm] V$, so dass die Gleichung:
[m]\underbrace{\vektor{u\\0}}_{=\hat{u} \in U}+\underbrace{\vektor{v\\-v}}_{=\hat{v} \in V}=\underbrace{\vektor{x_1\\x_2}}_{=x \in K^2}[/m] erfüllt ist.
Das ist schon getan, wenn du aus dieser Gleichung eine eindeutige Lösung für $u [mm] \in [/mm] K$, $v [mm] \in [/mm] K$ erhältst! (Warum?)
Probierst du das mal bitte?
PS: Die Fragen in den Klammern sollst du bitte beantworten!
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo.
Also danke erstmal.
Zu der versteckten Aussage: Dass U und V wirklich Unterrräume sind.
Das beweist man doch eigentlich damit, dass U,V [mm] \not= \emptyset, [/mm] und dass U,V abgeschlossen sind bezüglich der Addition und Multiplikation.
zu II) Was meinst du mit warum? Warum der Vektor [mm] \vektor{u \\ 0} [/mm]
Element von U ist? Das ist doch so definiert (y=0), oder?
Warum ist es wichtig, dass 0 [mm] \in [/mm] K ?
zu III) -v müsste doch dann das additive Inverse (in K) sein, oder nicht?
Wozu ist das wichtig?
Ich hab inzwischen auch ne Lösung probiert und hab versucht, folgendes zu zeigen:
1) V = U + W
2) U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{0 \}
[/mm]
Dies sind doch die 2 Bedingungen, dass V = U [mm] \oplus [/mm] W direkte Summe.
(Hab so ne ähnliche Aufgabe in nem Buch gefunden.)
zu2) Sei v= [mm] \vektor{x \\ y} \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] W. Es gilt: y=0, x=-y=0.
Also: v= [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Daraus folgt: U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \{0 \}
[/mm]
Also ist 2. erfüllt.
zu1) Hier wusste ich dann nicht so richtig, wie ich das zeigen soll.
Kannst du mir da weiterhelfen?
Oder kann man das so nicht machen?
Gruß Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nette,
> Hallo.
> Also danke erstmal.
>
> Zu der versteckten Aussage: Dass U und V wirklich
> Unterrräume sind.
> Das beweist man doch eigentlich damit, dass U,V [mm]\not= \emptyset,[/mm]
Warum sind sie nicht leer? Weil (z.B.) der Vektor [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] in $U$ liegt, ist $U [mm] \not=\emptyset$ [/mm] und gleiches Argument geht auch für $V$.
> und dass U,V abgeschlossen sind bezüglich der Addition und
> Multiplikation.
Du meinst hier vermutlich Skalarmultiplikation, oder? Falls du die Skalarmultiplikation meinst: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu II) Was meinst du mit warum? Warum der Vektor [mm]\vektor{u \\ 0}[/mm]
>
> Element von U ist? Das ist doch so definiert (y=0), oder?
Ja, aber ich habe es schon öfters erlebt, dass manche das nicht verstehen, dass man an der Stelle nichts anderes als Einsetzen muss bzw. manche Leute sehen das nicht. Ich wollte dich nur testen (das ist nicht böse gemeint, sondern ich wollte nur wissen, inwiefern man das Grundwissen auffrischen muss bzw. an (fasttriviale) Dinge erinnern muss).
> Warum ist es wichtig, dass 0 [mm]\in[/mm] K ?
Auch hier kenne ich Leute, die nicht aufpassen und die Null direkt mit der $0 [mm] \in \IR$ [/mm] gleichsetzen (ähnliches stand neulich mal irgendwo im Forum...). Daher wollte ich drauf aufmerksam machen.
> zu III) -v müsste doch dann das additive Inverse (in K)
> sein, oder nicht?
Genau!
> Wozu ist das wichtig?
Na, wichtig ist es dafür, dass überhaupt $-v [mm] \in [/mm] K$ gilt, wie würde man sonst begründen dass ein Vektor [m]\vektor{v\\-v}[/m] überhaupt ein Element des [mm] $K^2$ [/mm] ist? (Es wird ja auch behauptet, dass $V [mm] \subseteq K^2$). [/mm] Das sind alles Trivialitäten, zugegebenermassen, aber man muss es zumindest mal im Auge haben. Ich könnte ja auch schreiben:
Sei $K$ irgendein Körper und sei [mm] $V:=\left\{\vektor{x\\y}:x^2+y=0,\;x,y \in \IR \right\}$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $K^2$ [/mm] oder ähnlichen Unfug. Man sollte also immer im Auge haben, dass man das, was man hinschreibt, auch hinschreiben darf und dass der Aufgabensteller eine wohldefinierte Aufgabe gestellt hat. Deswegen wollte ich auf diese Kleinigkeiten aufmerksam machen! Ferner hast du ja nur die Darstellung [mm] $\vektor{v\\-v}$, [/mm] weil du die Gleichung $x+y=0$ umformen kannst. Dabei verwendest du aber die Körperaxiome oder dir bekannte Rechengesetze für Körper...
>
> Ich hab inzwischen auch ne Lösung probiert und hab
> versucht, folgendes zu zeigen:
> 1) V = U + W
> 2) U [mm]\cap[/mm] V = [mm]\{0 \}
[/mm]
> Dies sind doch die 2 Bedingungen,
> dass V = U [mm]\oplus[/mm] W direkte Summe.
> (Hab so ne ähnliche Aufgabe in nem Buch gefunden.)
Ja, das ist äquivalent zu meiner Aussage. Aber warum hast du nicht meine Lösung fortgesetzt? Das sind nur noch zwei oder drei Zeilen...
Ich ergänze das von dir Folgende mal ein bisschen nach meinem Geschmack (in Blau)!
> zu2) Sei v= [mm]\vektor{x \\ y} \in[/mm] U [mm]\cap[/mm] W. Es
Schreibe besser:
Dann
> gilt: y=0,
(da [mm] $\vektor{x \\ y} \in [/mm] U$)
und es folgt damit:
> x=-y=0. (da auch [mm] $\vektor{x \\ y} \in [/mm] V$)
und damit auch $x=y=0$.
> Also: v= [mm]\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
> Daraus folgt: U
> [mm]\cap[/mm] W = [mm]\{0 \}
[/mm]
> Also ist 2. erfüllt.
> zu1) Hier wusste ich dann nicht so richtig, wie ich das
> zeigen soll.
> Kannst du mir da weiterhelfen?
> Oder kann man das so nicht machen?
Doch, klar. Du hast jetzt die 2e Bedingung nachgerechnet, das ist aber hier unnötig, weil, wenn du die erste Bedingung nachrechnest, dann erhältst du doch genau diese Gleichung, die ich dir zuletzt gepostet habe:
Zu lösen ist:
[m]\underbrace{\vektor{u\\0}}_{=\hat{u} \in U}+\underbrace{\vektor{v\\-v}}_{=\hat{v} \in V}=\underbrace{\vektor{x_1\\x_2}}_{=x \in K^2}[/m]
Daraus erhält man aber zwei Gleichungen:
(I) [mm] $u+v=x_1$
[/mm]
(II) [mm] $0+(-v)=x_2$
[/mm]
Diese Gleichungen musst du jetzt nur noch nach $u$ und $v$ auflösen. Für $v$ steht das Ergebnis dann schon fast da und das setzt du dann in (I) ein und erhältst das passende $u$. Und du erkennst:
Wenn [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] fest vorgegeben sind, dann sind auch $u$ und $v$ eindeutig bestimmt.
(Beachte dabei: Wir haben uns einen beliebigen, aber festen Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2}\in K^2$ [/mm] hergenommen und wollen zeigen, dass es zu einem solchen eindeutig bestimmte $u$ und $v$ gibt, so dass (I) und (II) gilt. (Daraus folgt dann auch, dass [mm] $\hat{u} \in [/mm] U$ bzw. [mm] $\hat{v}\in [/mm] V$ eindeutig bestimmt sind).
Du kannst also mit den Gleichungen (I) und (II) so rechnen, als hättest du für [mm] $x_1$ [/mm] bzw. [mm] $x_2$ [/mm] feste Körperelemente vorgegeben.
Ich hoffe, es ist klar, wie ich das meine....)
PS: Wenn die Aufgabe etwas komplexer gewesen wäre, dann hättest du evtl. Erzeugendensysteme oder Basen (eine Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums ist natürlich auch ein minimales Erzeugendensystem) von Unterräumen $U$ und $V$ des [mm] $K^n$ [/mm] finden müssen, damit dann gezeigt, dass jeder Vektor des [mm] $K^n$ [/mm] dann entsprechend als Summe mithilfe dieser Erzeugendensysteme geschrieben werden kann und dann hättest du dann (evtl.) später zeigen müssen, dass $U [mm] \cap V=\{0\}$ [/mm] (es sei denn, du hättest damit begonnen). Ist nicht besonders toll formuliert, ich hoffe, du verstehst, wie ich das meine...
Viele Grüsse,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Danke. Hab die Mitteilung, die eigentlich hier hin gehört oben hingeschrieben. (Bin etwas verpeilt )
Gruß Annette
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