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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 22.11.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der dimension n. seien [mm] U_1, [/mm] ..., [mm] U_k [/mm] K-Unterräume von V mit [mm] dim(U_i)=n-1 [/mm] (i=1,...,k).
Beweisen sie die Ungleichung [mm] dim(U_1 \cap [/mm] ..... [mm] \cap U_k) \ge [/mm] n-k. |
ich wollte mal fragen, ob ich da mit nem induktionsbeweis rangehen kann?
dann hätte ich schonmal einen anfang.
vielen dank schonmal für die hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mo 23.11.2009 | | Autor: | aly19 |
Hat niemand einen tipp für mich?
wäre wirklich super. :)
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> Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der dimension n.
> seien [mm]U_1,[/mm] ..., [mm]U_k[/mm] K-Unterräume von V mit [mm]dim(U_i)=n-1[/mm]
> (i=1,...,k).
> Beweisen sie die Ungleichung [mm]dim(U_1 \cap[/mm] ..... [mm]\cap U_k) \ge[/mm]
> n-k.
> ich wollte mal fragen, ob ich da mit nem induktionsbeweis
> rangehen kann?
> dann hätte ich schonmal einen anfang.
Hallo,
die Frage, ob man mit einem Induktionsbeweis herangehen kann, ist eine Frage, die man sich normalerweise selbst beantwortet, indem man es einfach mal probiert.
Und genau das müßten diejenigen, die Du danach fragst, ob Induktion hier geht, auch tun - hier liegt der Schlüssel zu der Tatsache, daß Du lange keine Antwort bekommen hast.
Warum sollen andere überlegen, wenn Du (so hat's den Anschein) überhaupt noch nicht begonnen hast?
Aber inzwischen ist ja etwas Zeit verstrichen.
Hast Du jetzt mal angefangen mit Induktion? Wenn ja, wie weit bist Du gekommen und wo lag ggf. Dein Problem?
Man riskiert bei dieser Vorgehensweise nur eins, daß man nämlich feststellt: schade, Induktion klappt hier nicht.
Dann denkt man sich etwas anderes aus - hat aber beim Versuch mit der Induktion schon so viel über Untervektorräume und Dimensionsformel überlegt und mit den ganzen Zutaten gespielt, daß die Zeit für den Lernprozeß keinesfalls verloren war.
Ich bin mir übrigens sehr sicher, daß Induktion hier zum Ziel führt, wenn man's richtig macht. Die Dimensionsformel sollte von Nutzen sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 24.11.2009 | | Autor: | aly19 |
Okay, also ich hab das mit induktion eigentlich hinbekommen, es kam mir aber so simpel vor, weshalb ich wissen wollte ob induktion überhaupt ein ansatz hier ist.
also ich habe:
IA
[mm] dim(U_1\cap U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1+U_2)=n-1+n-1-dim(U_1+U_2)=n-2+n-dim(U_1+U_2) [/mm] und da [mm] U_1+U_2 [/mm] ja ein untervektorraum ist, gilt für die dimension [mm] \le [/mm] n, also ergeben die letzten summanden eine zahl größer gleich null und somit ist:
[mm] dim(U_1\cap U_2) \ge [/mm] n-2
IV ...
IS
[mm] dim(U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_(k+1))=dim(U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_k)+dim(U_(k+1))-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1))=n-k+n-1-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1))=n-(k+1)+n-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1)) [/mm] und da wieder [mm] n-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1)) \ge [/mm] 0 folgt:
[mm] dim(U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_(k+1))\ge [/mm] n-(k+1)
geht das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 24.11.2009 | | Autor: | aly19 |
das eben sollte natürlich keine mitteilung sondern eine frage sein. :)
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> Okay, also ich hab das mit induktion eigentlich
> hinbekommen, es kam mir aber so simpel vor, weshalb ich
> wissen wollte ob induktion überhaupt ein ansatz hier ist.
> also ich habe:
> IA
> [mm]dim(U_1\cap U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1+U_2)=n-1+n-1-dim(U_1+U_2)=n-2+n-dim(U_1+U_2)[/mm]
> und da [mm]U_1+U_2[/mm] ja ein untervektorraum ist, gilt für die
> dimension [mm]\le[/mm] n, also ergeben die letzten summanden eine
> zahl größer gleich null und somit ist:
> [mm]dim(U_1\cap U_2) \ge[/mm] n-2
>
> IV ...
> IS
> [mm]dim(U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_(k+1))=dim(U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_k)+dim(U_(k+1))-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1))\red{\ge}n-k+n-1-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1))=n-(k+1)+n-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1))[/mm]
> und da wieder [mm]n-dim(U_1\cap...\cap U_k+U_(k+1)) \ge[/mm] 0
> folgt:
> [mm]dim(U_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap U_(k+1))\ge[/mm] n-(k+1)
>
> geht das so?
Hallo,
ja, das sieht gut aus so.
Gruß v. Angela
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