Trigonometrische Fkts. F(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mo 22.05.2006 | | Autor: | night |
| Aufgabe | f(x)=tan(x)
f(x) = [mm] tan^2(x) [/mm] |
hi,
ist das Ergebnis der ersten fkt richtig?
F(x)= ln(sin(x))?
F(x) = tan(x) - x
wie komme ich darauf?
[mm] sin^2(x)/cos^2(x) [/mm] = ....
weg:
sin(x)/cos(x) mit kehrwert multipliziert!
cos(x)/sin(x) regel!
ln(sin(x))?
danke
mfg Daniel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> ist das Ergebnis der ersten fkt richtig?
> F(x)= ln(sin(x))?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum multiplizierst Du mit dem Kehrwert? Dann veränderst Du doch den Wert dieses Ausdruckes.
[mm] $\tan(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)*(-1)*\sin(x)}{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\bruch{-\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
Und nun steht im Zähler exakt die Ableitung des Nenners. Also ...?
> F(x) = tan(x) - x
> wie komme ich darauf?
> [mm]sin^2(x)/cos^2(x)[/mm] = ....
Das wäre eine Variante ...
[mm] $\tan^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\sin^2(x)\blue{+\cos^2(x)-\cos^2(x)}}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{\sin^2(x)+\cos^2(x)}}{\cos^2(x)}-\bruch{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{1}}{\cos^2(x)}-1$
[/mm]
Wie lautet denn die Ableitung des [mm] $\tan(x)$ [/mm] ? Damit kennst Du auch die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{\cos^2(x)}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 22.05.2006 | | Autor: | night |
also -ln(cos(x))!
ableitung von tan(x) = [mm] 1/cos^2(x)
[/mm]
F(x) von [mm] 1/cos^2(x) [/mm] dann tan(x)
habe die aufleitung von [mm] tan^2(x) [/mm] leider nicht richtig verstanden
danke
mfg daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
> also -ln(cos(x))!
Fast ... verwende ganz korrekt noch die Betragsstriche (und auch die Integrationskonstante $+ \ C$ nicht unterschlagen):
$F(x) \ = \ [mm] -\ln\red{|}\cos(x)\red{|} [/mm] + C$
> ableitung von tan(x) = [mm]1/cos^2(x)[/mm]
> F(x) von [mm]1/cos^2(x)[/mm] dann tan(x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
> habe die aufleitung von [mm]tan^2(x)[/mm] leider nicht richtig
> verstanden
Bisher habe ich gar nicht integriert in der obigen Antwort.
Ich habe lediglich den Ausdruck [mm] $\tan^2(x)$ [/mm] umgeformt, indem ich eine "geschickte Null" addiert habe. Anschließend habe ich den Bruch in 2 Teilbrüche auseinander gezogen.
Zudem gilt ja stets: [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ ("trigonometrischer Pythagoras").
Gruß
Loddar
|
|
|
|
