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Hallo an Alle!!
Ich hab ein Problem mit einer Funktion, bei der gezeigt werden soll, dass sie im Null punkt total differenzierbar ist:
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Kann mir da vielleicht jemand helfen. Ich habe jetzt versucht, die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit zu testen. Diese sind aber relativ komplex, sodass ich mein Vorhaben aufgegeben habe. Kann man vielleicht noch etwas anderes machen?
Viele Grüße. Mathmetzsch
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Hallo Mathmetzsch,
ich gehe einmal davon aus, dass die von dir genannte funktion zusätzlich in (0,0) den funktionswert 0 zugewiesen bekommt, sonst ist sie dort nämlich nicht definiert. vermutlich ist es am einfachsten, die stetigkeit der partiellen ableitungen im nullpunkt zu zeigen.
ansonsten kannst du natürlich über die definition der differenzierbarkeit argumentieren: bilde aus den partiellen ableitungen den gradienten in $0$ (also eine lineare abbildung [mm] $\IR^2\to \IR$ [/mm] und setze diese in die definition der diffbarkeit ein. du musst dann im grunde zeigen dass
[mm] $f(h)-\nabla f(0)\cdot [/mm] h=g(h)$
gilt, wobei $g(h)$ mehr als linear gegen $0$ geht, wenn [mm] $|h|\to [/mm] 0, h [mm] \in \IR^2$. [/mm]
Ich denke aber, dass die erste variante leichter ist.
Grüße
Matthias
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Also gut, als partielle Ableitung nach x habe ich ausgerechnet
[mm] \partial_{x}f=\bruch{3x^{2}\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x^{4}/\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Ich finde diesen Ausdruck etwas zu kompliziert, um da was mit der Stetigkeit zu machen oder nicht?
Ich hätte jetzt die Idee, das vielleicht mit der Maximumsnorm nach oben abzuschätzen aber wie?
Kann mir da vielleicht noch mal jemand helfen??
VG mathmetzsch
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Hallo!
Da [mm] $\partial [/mm] _xf$ eine Verknüfung stetiger Funktionen ist, musst du auf [mm] $\IR^2\setminus \{(0,0)\}$ [/mm] die Stetigkeit nicht nachweisen!
> [mm]\partial_{x}f=\bruch{3x^{2}\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x^{4}/\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
Rechne zunächst [mm] $\lim _{(x,y)\to 0}\partial [/mm] _xf(x,y)$ aus! Das ist leichter, als es auf den ersten Blick aussieht! Forme dazu um:
[mm] $\partial_{x}f(x,y)=\bruch{3x^{2}\wurzel{x^{2}+y^{2}}-x^{4}/\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}}=\bruch{3x^2(x^2+y^2)-x^4}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}=\bruch{2x^4+3x^2y^2}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}$.
[/mm]
Deshalb ist [mm] $|\partial_x f(x,y)|\le \bruch{5\|(x,y)\|^4}{\|(x,y)\|^3}=5\|(x,y)\|$...
[/mm]
Dann bilde die Ableitung von $f$ nach $x$ in $(0,0)$ mit Hilfe des Differenzenquotientens.
Danach mach dasselbe mit [mm] $\partial_yf(x,y)$!
[/mm]
Wenn $f$ in $(0,0)$ stetig partiell nach $x$ und $y$ differenzierbar ist, so ist $f$ in $(0,0)$ total differenzierbar...
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Hallo,
also zunächst mal danke ich dir für die schnelle Antwort. Beim Nachvollziehen deiner Rechnung komme ich nicht ganz mit. Müsste es nicht so gehen:
[mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{x^{2}+y{2}}*\wurzel{x^{2}+y{2}}}{(x^{2}+y{2})*\wurzel{x^{2}+y{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y{2}}}
[/mm]
Also insgesamt für den Term
[mm] \bruch{3x^{2}*\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{x^{4}/\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x^{2}}{\wurzel{x^{2}+y{2}}}-x^{4}\wurzel{x^{2}+y{2}}
[/mm]
=...erweitern
[mm] =\bruch{3x^{2}-x^{8}-x^{4}y^{2}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
Für die Folgerungen die Stetigkeit betreffend spielt das ja keine Rolle, aber so würde ich das vereinfachen. Vielleicht täusche ich mich auch, aber ich glaube, du hast dich da verrechnet oder ich verstehe einfach nicht, was du gemacht hast.
Trotzdem vielen Dank!!
Grüße mathmetzsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Di 27.09.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> also zunächst mal danke ich dir für die schnelle Antwort.
> Beim Nachvollziehen deiner Rechnung komme ich nicht ganz
> mit. Müsste es nicht so gehen:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{x^{2}+y{2}}*\wurzel{x^{2}+y{2}}}{(x^{2}+y{2})*\wurzel{x^{2}+y{2}}}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y{2}}}[/mm]
>
Soweit einverstanden.![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Also insgesamt für den Term
>
> [mm]\bruch{3x^{2}*\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}-\bruch{x^{4}/\wurzel{x^{2}+y{2}}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3x^{2}}{\wurzel{x^{2}+y{2}}}-x^{4}\wurzel{x^{2}+y{2}}[/mm]
Halt! beim zweiten summanden musst du mit dem wurzelterm erweitern, so wie es auch banachella gemacht hat. es ergibt sich
... [mm] $-\bruch{x^4}{(x^2+y^2)^{\bruch{3}{2}}}$.
[/mm]
hier hat banachella wohl tatsächlich einen kleinen rechenfehler eingebaut, statt der dritten wurzel im nenner muss der exponent $3/2$ stehen.
Viele Grüße
Matthias
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