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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:12 Do 21.02.2008 | | Autor: | Viperius |
| Aufgabe | | Bestimmen sie das Integral von: [mm] \integral_{-4}^{-2}{\bruch{4x³-1}{2x²} dx} [/mm] |
Hallo liebe Community.
Ich bräuchte bitte dringend eure Hilfe, und zwar muss ich die oben gegebene gebrochen-rationale Funtkion mit dem Substitutionsverfahren integrieren.
Ich habe es einmal wie folgt probiert:
[mm] \integral_{-4}^{-2}{\bruch{4x³-1}{2x²} dx}
[/mm]
g: 2x²
g': 4
f(z)= [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
g(-2) = 8
g(-4) = 32
dz=4x dx <=> [mm] \bruch{1}{4}*x [/mm] dz = dx
[mm] x^4-\bruch{1}{4}*x \integral_{8}^{32}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] [(x^4-\bruch{1}{4}*x)*ln(z)]
[/mm]
Das Ergebnis soll laut Lösungsbuch [mm] -12\bruch{1}{8} [/mm] sein. Ich komm da mit der Rechnung leider nicht wirklich drauf..
Ist die Rechnung richtig? Wenn nein, könnt ihr mir vll sagen wo der Fehler liegt? Denn mit dem Verfahren habe ich auch einige andere Aufgaben gelöst und es hat alles immer prima geklappt.
Vielen lieben Dank im vorraus.
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Viperius!
Ist Dir das Lösungsverfahren mittels "Substitution" hier vorgeschrieben?
Denn durch eine kleine Umformung kannst Du die Stammfunktion schnell ermitteln:
[mm] $$\bruch{4x^3-1}{2x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4x^3}{2x^2}-\bruch{1}{2x^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*x-\bruch{1}{2}*x^{-2}$$
[/mm]
Nun mittels  Potenzregel integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 21.02.2008 | | Autor: | peterinsam |
Lieber Viperius,
wie Du substituiert hast bringt dir in diesem Fall nicht viel. Nach der Substitution sollte die "alte" Variable nicht mehr vorkommen.
dz=4x dx hast Du richtig ermittelt. Aber im Integranden kommt kein 4x oder so was ähnliches vor, also bleiben einige x übrig. Das ist nicht Ziel der Substitution.
Vielleicht bringt dir ein Beispiel mehr:
Deine Substitution wäre z.B. beim Integral
[mm]\integral_{-4}^{-2}{\ (2x²+1)*4x dx}[/mm]
passend.
Denn substituiert man wie Du [mm] 2x^2=u [/mm] <=> du=4x dx.
4x dx findest Du in dieser Form im Integranden wieder.
Man würde also auf das Integral
[mm]\integral_{32}^{8}{\ (u+1) du}[/mm]
kommen. Das kannst Du ganz einfach integrieren.
Zurück zu deiner Aufgabe.
Da würde ich statt Substitution eher vereinfachen und dann integrieren vorschlagen. (schau dir mal den Integranden an; kann man den nicht durch 2 Brüche ausdrücken? (Hauptnenner ist schon da); anschließend Kürzen. Was dann dasteht ist einfach zu integrieren. )
Hoffentlich konnte ich dir irgendwie helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Do 21.02.2008 | | Autor: | Viperius |
Hey super vielen Dank euch beiden für die Hilfen.
Nein es ist nirgends gesagt, dass ich das Substitutionsverfahren anwenden muss.
Mir tut sich dabei nur eine Frage auf und zwar, heißt das also, man verwendet bei gebrochen-rationalen also nur Substitution, wenn man den Nenner gut als g(x) verwenden kann und man mit der Ableitung dessen, dann oben aus dem Zähler das x wegbekommt, so dass eben nur höchstens noch eine Zahl stehen bleibt? Versteh ich das richtig? Und ansonsten kann Substitution bei anderen Integralen auch nur dann wirklich brauchbar sein, wenn man damit das x wegbekommt?
Ansonsten prima, vielen Dank für eure Hilfen, haben mich wirklich weitergebracht.
Liebe Grüße
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