Steigung einer Kurvengleichung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die folgende Kurvengleichung:
[mm] y^2 [/mm] = [mm] e^{\bruch{x^2 y^2 -2x}{(1-x^2)}}
[/mm]
a) Für welche x-Werte ist die Kurvengleichung definiert?
b) Bestimmen Sie die Steigung der gegebenen Kurve im Punkt (x,y) = (0,1). |
a) [mm] x\not=1
[/mm]
b) Hier muss die erste Ableitung gebildet werden...?!
lny = [mm] \bruch{x^2 y^2 -2x}{2(1-x^2)}
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{y} [/mm] = [mm] \bruch{(2xy^2+x^2 2yy'-2)(2-2x^2)-4x(x^2y^2-2x)}{(2-2x^2)^2}
[/mm]
...
...
...
y' = [mm] \bruch{xy^2+x^2yy'-1-2x^3y^2-x^4yy'+3x^2}{(1-x^2)^2}y
[/mm]
jetzt setze ich in diese Gleichung x=0 und y=1 ein und erhalte y' = -1
Somit ist die Steigung im Punkt 0,1 = -1
stimmt das denn so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 25.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei die folgende Kurvengleichung:
> [mm]y^2[/mm] = [mm]e^{\bruch{x^2 y^2 -2x}{(1-x^2)}}[/mm]
>
> a) Für welche x-Werte ist die Kurvengleichung definiert?
> b) Bestimmen Sie die Steigung der gegebenen Kurve im Punkt
> (x,y) = (0,1).
> a) [mm]x\not=1[/mm]
Hier fehlt noch ein Wert, die Gleichung [mm] 1-x^{2}=0 [/mm] hat nicht nur die Lösung x=1, die du ausschließen musst.
>
> b) Hier muss die erste Ableitung gebildet werden...?!
>
> lny = [mm]\bruch{x^2 y^2 -2x}{2(1-x^2)}[/mm]
> [mm]\bruch{y'}{y}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2xy^2+x^2 2yy'-2)(2-2x^2)-4x(x^2y^2-2x)}{(2-2x^2)^2}[/mm]
>
> ...
> ...
> ...
> y' =
> [mm]\bruch{xy^2+x^2yy'-1-2x^3y^2-x^4yy'+3x^2}{(1-x^2)^2}y[/mm]
>
> jetzt setze ich in diese Gleichung x=0 und y=1 ein und
> erhalte y' = -1
> Somit ist die Steigung im Punkt 0,1 = -1
> stimmt das denn so?
Nein, du brauchst hier beide partiellen Ableitungen [mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \frac{\partial f}{\partial y}, [/mm] und musst in beide Ableitungen dann P(0|1) einsetzen. Danach hast du die Ableitung in beide Richtungen zu bestimmen.
Marius
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Ah ja... Bei der a hab ich das [mm] x^2 [/mm] übersehen -> [mm] x\not=\pm1
[/mm]
b)
Die Gleichung müsste ich ja umschreiben in dem ich das [mm] y^2 [/mm] bzw 2lny auf die andere Seite bringe:
0= [mm] {\bruch{x^2 y^2 -2x}{(1-x^2)}} [/mm] -2lny
nach x:
[mm] \bruch{2xy^2-2-2x^2}{(1-x^2)^2} [/mm] P(0,1)-> -2
nach y:
[mm] \bruch{2yx^2}{1-x^2}-\bruch{2}{y} [/mm] P(0,1)-> -1
Aber was du meinst mit "Ableitungen in beide Richtungen bestimmen" weiß ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 So 26.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Aber was du meinst mit "Ableitungen in beide Richtungen
> bestimmen" weiß ich nicht.
Ich hab deine Rechnung im ersten Post jetzt nicht im Detail nachgerechnet, aber dein Rechenweg ist jedenfalls richtig.
Ich glaube, M.Rex hat die Angabe fehlinterpretiert und die implizite Kurvengleichung $ [mm] y^2=e^{\bruch{x^2 y^2 -2x}{1-x^2}} [/mm] $ mit der Flächengleichung $f(x,y)= [mm] e^{\bruch{x^2 y^2 -2x}{1-x^2}} [/mm] $ verwechselt.
Gruß RMix
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Ok also das würde heißen, dass mein Lösungsweg vom 1. Post richtig ist. Also die erste Ableitung bilden?!
Vielen Dank
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 27.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ok also das würde heißen, dass mein Lösungsweg vom 1.
> Post richtig ist. Also die erste Ableitung bilden?!
Ja, genau. Dein Ansatz und deine Rechnung sind richtig.
Dein vorheriges Logarithmieren vereinfacht den Ausdruck zwar ein wenig, wäre aber nicht unbedingt nötig. Die e-Potenz bleibt beim Differenzieren ja einfach stehen (und wird nachher beim Einsetzen =1) und die innere Ableitung des Bruchs sparst du dir so oder so nicht.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Mo 27.07.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
Ok dann hab ichs verstanden. Vielen Dank
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