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| Aufgabe | Sei [mm] e_1 [/mm] , [mm] e_2 \in \IR² [/mm] die Standardbasis von [mm] \IR² [/mm] mit Standardskalarprodukt. Seien [mm] a_1:= e_1, a_2:= e_2 -e_1, a_3:= e_2, a_4:= e_1 [/mm] + [mm] e_2 [/mm] und [mm] s_i [/mm] die Spiegelung bzg. der Gerade, die zum Vektor [mm] a_i [/mm] orhogonal ist, i = 1,2,3,4.
Berechne die Gruppe [mm] (s_1, s_2, s_3, s_4) [/mm] die diese Spiegelungen erzeugen. |
servus!
ich steh vor nem rätsel! Gibt es überhaupt ne lösung für diese komplizierte Spiegelung?
vielen dank für eure hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]e_1[/mm] , [mm]e_2 \in \IR²[/mm] die Standardbasis von [mm]\IR²[/mm] mit
> Standardskalarprodukt. Seien [mm]a_1:= e_1, a_2:= e_2 -e_1, a_3:= e_2, a_4:= e_1[/mm]
> + [mm]e_2[/mm] und [mm]s_i[/mm] die Spiegelung bzg. der Gerade, die zum
> Vektor [mm]a_i[/mm] orhogonal ist, i = 1,2,3,4.
>
> Berechne die Gruppe [mm](s_1, s_2, s_3, s_4)[/mm] die diese
> Spiegelungen erzeugen.
> servus!
> ich steh vor nem rätsel! Gibt es überhaupt ne lösung für
> diese komplizierte Spiegelung?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich denke schon, daß es eine Lösung für die Aufgabe gibt.
Du schreibst "diese komplizierte Spiegelung". Wenn Du aber den Aufgebentext richtig durchliest, stellst Du fest, daß es sich um 4 Spiegelungen handelt, und diese sind alle eher leicht rechnerisch zu behandeln.
Ich gehe davon aus, daß Ihr bereits behandelt habt, wie man lineare Abbildungen duch Matrizen darstellt.
> Seien [mm][mm] a_1:= e_1, [/mm] [...] und [mm]s_i[/mm] die Spiegelung bzg. der Gerade, die zum Vektor [mm]a_i[/mm] orhogonal ist
Nun zeichne Dir zunächst [mm] a_1:=e_1 [/mm] in ein Koordinatensystem. Nun die Gerade, welche hierzu senkrecht ist. Dies ist die Gerade, die zur Spiegelung [mm] s_1 [/mm] gehört.
Nun stell die dazugehörige Matrix [mm] M_{s_1}auf. [/mm] In die erste Salte schreibst Du das Bild von [mm] e_1 [/mm] unter dieser Spiegelung, also [mm] s_1(e_1), [/mm] in die zweite Spalte kommt das Bild von [mm] e_2 [/mm] unter dieser Spiegelung.
>Seien [mm][mm] [...]a_2:= e_2 -e_1 [/mm] [...] und [mm]s_i[/mm] die Spiegelung bzg.
der Gerade, die zum Vektor [mm]a_i[/mm] orhogonal ist
Wie oben. Zeichne [mm] a_2 [/mm] ein. Welche Gerade ist dazu senkrecht? Dies ist Deine Spiegelachse für [mm] s_2. [/mm] Und wieder stell die Matrix [mm] M_{s_2} [/mm] auf. In die erste Spalte das Bild von [mm] e_1 [/mm] unter der Spiegelung [mm] s_2, [/mm] in die zweite das von [mm] s_2.
[/mm]
Für die verbleibenden [mm] a_i [/mm] genauso.
Danach könntest Du sämtliche möglichen endlichen Produkte bilden und würdest so die gesuchte Gruppe finden.
Eine andere Möglichkeit wäre die, daß Du nach dem Aufstellen der Spiegelmatrizen erstmal überlegst, was Du herausbekommen möchtest.
Dir stehen ja 4 Spiegelungen zur Verfügunge, deren Achsen sich alle im Nullpunkt schneiden. Benachbarte Achsen bilden jeweils einen Winkel von 45°. Du solltest Dich daran erinnern, daß man die Hintereinanderausführung von Spiegelungen durch etwas anderes ersetzen kann.
Gruß v. Angela
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