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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Do 11.10.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Seien $W$ und $W'$ zwei komplementäre Teilräume eines endlich dimensionalen reellen Vektorraum V, d.h. $V = W [mm] \oplus [/mm] W'$. Zeige, dass ein inneres Produkt auf $V$ existiert, für das [mm] $W^{\perp} [/mm] = W'$ gilt. Formuliere und beweise das Analogon für Komplexräume. |
Dazu habe ich mir folgende Beweisskizze überlegt:
Seien [mm] $w\in [/mm] W, [mm] w'\in [/mm] W'$
ich definiere mir ein skalarbrodukt:
[mm] $\langle w_1 [/mm] + w'_1 , [mm] w_2 [/mm] + [mm] w'_2\rangle [/mm] := [mm] \langle w_1,w_2\rangle [/mm] + [mm] \langle w'_1,w'_2\rangle [/mm] $
(darstellung ist eindeutig für alle $v [mm] \in [/mm] V$)
das rechte ist ein beliebiges skalarprodukt
und davon rechne man nach:
1) es ist ein skalarprodunkt
2) [mm] $\langle [/mm] w,w' [mm] \rangle [/mm] = 0$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ und $w' [mm] \in [/mm] W'$
Für komplexe VR beachte man einfach die entsprechenden Regeln (konjugiert komplex..)
Frage:
Ist diese Skizze in Ordnung oder laufe ich einen Irrweg entlang?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Do 11.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]W[/mm] und [mm]W'[/mm] zwei komplementäre Teilräume eines endlich
> dimensionalen reellen Vektorraum V, d.h. [mm]V = W \oplus W'[/mm].
> Zeige, dass ein inneres Produkt auf [mm]V[/mm] existiert, für das
> [mm]W^{\perp} = W'[/mm] gilt. Formuliere und beweise das Analogon
> für Komplexräume.
>
> Dazu habe ich mir folgende Beweisskizze überlegt:
> Seien [mm]w\in W, w'\in W'[/mm]
>
> ich definiere mir ein skalarbrodukt:
> [mm]\langle w_1 + w'_1 , w_2 + w'_2\rangle := \langle w_1,w_2\rangle + \langle w'_1,w'_2\rangle[/mm]
Nein, so geht das nicht. Wie sind denn die beiden Summanden rechts def. ???????
>
> (darstellung ist eindeutig für alle [mm]v \in V[/mm])
> das rechte
> ist ein beliebiges skalarprodukt
> und davon rechne man nach:
> 1) es ist ein skalarprodunkt
> 2) [mm]\langle w,w' \rangle = 0[/mm] für alle [mm]w \in W[/mm] und [mm]w' \in W'[/mm]
>
> Für komplexe VR beachte man einfach die entsprechenden
> Regeln (konjugiert komplex..)
>
> Frage:
> Ist diese Skizze in Ordnung oder laufe ich einen Irrweg
> entlang?
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=916450
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 11.10.2012 | | Autor: | clemenum |
Ohh, dankeschön, Fred! 
Das hat mir geholfen, dieser Link!
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