Schwerpunkt Kreiskegel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hi,
folgende Aufgabe hat mir schon zahlreiche erfolglose Rechenversuche eingebracht:
Ich soll den Schwerpunkt eines homogenen Kreiskegel bestimmen, Höhe und Radius hab ich gegeben, aber hier soll es um die allg. Rechnung gehen.
Ich habe den Kegel so platziert, dass der Mittelpunkt auf dem Ursprung der x-y-Ebene liegt. Die z-Gerade geht damit genau durch die Symmetrieachse des Körpers geht. Aus diesen Symmetriegründen weiß ich nun auch, dass der x- und y-Anteil am Schwerpunkt = 0 ist, also der Schwerpunkt auf der z-Achse liegt.
Nun müsst ich ja den Körper am besten in Zylinderkoordinaten beschreiben und dann über die Volumenelemente integrieren.
Den Fläche des Grundkreises kann man ja über dr [mm] (0\le r\le [/mm] Radius R) und [mm] d\alpha [/mm] (zwischen 0 und [mm] 2\pi) [/mm] bekommen. Doch wie beschreibe ich den Kegelmantel über das fehlende Element (nennen wir es dz)?
Wüsst ich das, so könnt ich dann ja mit
[mm] z_{s} [/mm] = [mm] \bruch{1}{V} \integral_{0}^{2\pi} {\integral_{0}^{?} { \integral_{0}^{R} {(z*r) dr} dz} d\alpha}
[/mm]
berechnen, oder? (Aus [mm] z_{s} =\bruch{1}{V} \integral_{a}^{b} [/mm] {z dV})
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
PS:
Da es ein homogener Körper ist, könnte ich ja auch die Höhe h ermitteln, bei der das Volumen eines Kegelstumpfes gleich dem Volumen des verbleibenden Kreiskegel ist, oder?
Aber ich würde lieber den ersteren Weg verstehen und können.
Thx
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Hallo steelscout,
die Obergrenze für z ist [mm]H\cdot(1-\frac{r}{R})[/mm]
Dabei ist H die Höhe des Zylinders. Allerdings musst du erst nach z und dann nach r integrieren, sonst wird das nix.
Hugo
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