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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Firecrow |
| Aufgabe | a) Beweisen Sie für n [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge [/mm] 2
[mm] \summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(m^2 -m)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2(n^2 +n)}
[/mm]
b) Beweisen Sie mit Hilfe von a)
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty } \bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} \le \bruch{5}{4}
[/mm]
c) Können Sie aus a) bessere obere Schranken für [mm] \summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} [/mm] herleiten? |
Irgendwie weiss ich nich so recht, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich denk mal, wohl mit Fallunterscheidung??!!
Habt ihr vielleicht n Tipp für mich??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Firecrow!
Beginnen wir mal mit der a.) ...
Entweder weist Du diese Gleichheit über eine vollständige Induktion nach. Ich würde hier aber eher eine  Partialbruchzerlegung vornehmen:
[mm] $$\bruch{1}{k^3 -k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k*(k+1)*(k-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k-1}+\bruch{B}{k}+\bruch{C}{k+1}$$
[/mm]
Anschließend haben wir eine sogenannte "Telsekopsumme" vorliegen, wo sich fast alle Glieder eliminieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Firecrow |
Wenn ich mich nich verrechnet habe bekomm ich für die einzelnen Terme folgende Partialbruchzerlegungen raus.
[mm] \bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(k-1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(k+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2(m^2 -m)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2m} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(m-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2(n^2 + n)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
Wie mach ich denn dann jetzt weiter???
Steh grad völlig aufm Schlauch.
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Hallo Firecrow,
> Wenn ich mich nich verrechnet habe bekomm ich für die
> einzelnen Terme folgende Partialbruchzerlegungen raus.
>
> [mm] $\bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(k-1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\red{k-1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(k+1)}$ [/mm]
vertippt, der rote Nenner ist $k$
Das kannst du dann schreiben als
[mm] $\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{(k-1)\cdot{}k\cdot{}(k+1)}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{2}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$
[/mm]
Nun schreibe dir mal deine Summe etwas ausführlicher hin:
[mm] $\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{2}{k}+\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=m}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{2}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$
[/mm]
Ich habe keine gesteigerte Lust auf zuviel Tipparbeit 
Schreibe dir also mal auf ein Blatt die ersten 5 Summanden, also die für $k=m, k=m+1, k=m+2, k=m+3, k=m+4$, dann viele ... und die letzten 5 Summanden, also für $k=n-4, k=n-3, k=n-2, k=n-1, k=n$ auf.
Du siehst, dass sich fast alles weghebt (Teleskopsumme)
Übrig bleibt [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Das kannst du dann noch ein bissl umformen, bis du das Endergebnis hast ...
>
> [mm]\bruch{1}{2(m^2 -m)}[/mm] = [mm]\bruch{0}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2m}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2(m-1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2(n^2 + n)}[/mm] = [mm]\bruch{0}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm]
>
> Wie mach ich denn dann jetzt weiter???
> Steh grad völlig aufm Schlauch.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 01.02.2009 | | Autor: | Firecrow |
| Aufgabe | | b) Beweisen Sie mit Hilfe von a) [mm] \summe_{k=2}^{ \infty } \bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} \le \bruch{5}{4} [/mm] |
Nachdem ich mit eurer Hilfe den Aufgabenteil a) gut lösen konnte häng ich jetzt bei Aufgabenteil b) fest.
[mm] \summe_{k=2}^{ \infty } \bruch{1}{k^3 -k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] den Teil hab ich schon fertig.
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} \le \bruch{5}{4} [/mm] arbeite ich hier auch wieder mit Partialbruchzerlegung?? Ich kann ja [mm] \bruch{1}{k^3} [/mm] darstellen als [mm] \bruch{1}{k(k*1)} [/mm] ??!!
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Hallo nochmal,
> b) Beweisen Sie mit Hilfe von a) [mm]\summe_{k=2}^{ \infty } \bruch{1}{k^3 -k}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} \le \bruch{5}{4}[/mm]
>
> Nachdem ich mit eurer Hilfe den Aufgabenteil a) gut lösen
> konnte häng ich jetzt bei Aufgabenteil b) fest.
> [mm]\summe_{k=2}^{ \infty } \bruch{1}{k^3 -k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> den Teil hab ich schon fertig.
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty } \bruch{1}{k^3} \le \bruch{5}{4}[/mm]
> arbeite ich hier auch wieder mit Partialbruchzerlegung??
> Ich kann ja [mm]\bruch{1}{k^3}[/mm] darstellen als [mm]\bruch{1}{k(k*1)}[/mm]
> ??!!
Nö, benutze (a) !!
Es ist [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^3}=1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^3}$
[/mm]
[mm] $\le 1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^3\red{-k}}$
[/mm]
denn durch das Verkleinern des Nenners vergrößert sich der Bruch
Nun einen kurzen Blick auf (a) werfen ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
LG
schachuzipus
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