PdM12-->quadr.Gleichung,Beweis < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 11.12.2007 | | Autor: | Kiyomi |
| Aufgabe | Behauptung:
Wenn in einer quadratischen Gleichung
ax² + bx + c = 0 (*)
die Koeffizienten a, b, c sämtlich ungerade Zahlen sin, dann hat die Gleichung (*) keine rationalen Lösungen.
Beweis:
Angenommen die Behauptung ist falsch, dann muss gelten:
.
.
.
Eine mögliche rationale Lösung sein x1 = p/q.
Damit gilt: a * (--)² + b * (--) + c = 0 | Klammer auflösen
a + -- + b * -- + c = 0 | * q²
= (**) |
Was sind rationale Lösungen?
Wie kommen die auf die mögliche rationale Lösung x1= p/q ?
Eine Anregung ist auch gut, dann kann ich wenigstens damit etwas anfangen.
Vielen Dank, wenn ihr mir helfen könnt, wir besprechen sowas nie und der Lehrer meckert uns schon an, dass wir ihn blamiern, weil wir als LK schlecht abschneiden...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kiyomi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Behauptung:
>
> Wenn in einer quadratischen Gleichung
> ax² + bx + c = 0 (*)
> die Koeffizienten a, b, c sämtlich ungerade Zahlen sin,
> dann hat die Gleichung (*) keine rationalen Lösungen.
>
> Beweis:
>
> Angenommen die Behauptung ist falsch, dann muss gelten:
>
> Eine mögliche rationale Lösung sei x1 = p/q.
>
> Damit gilt: a * (--)² + b * (--) + c = 0 | Klammer
> auflösen
> a + -- + b * -- + c = 0 |
> * q²
> =
> (**)
> Was sind rationale Lösungen?
>
> Wie kommen die auf die mögliche rationale Lösung x1= p/q ?
>
Weißt du, was rationale Zahlen sind? ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Zahlenmenge
[mm] x_1=\bruch{p}{q} [/mm] besagt, dass man annimmt, [mm] x_1 [/mm] sei eine Lösung, die durch einen gekürzten Bruch dargestellt werden kann.
Dann gilt: [mm] a*(\bruch{p}{q})^2+b*(\bruch{p}{q})+c=0 [/mm] du setzt also die "Lösung" in die Gleichung ein.
Formst du ein wenig um, dann solltest du erkennen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt;
daraus folgt dann zwingend, dass die Annahme falsch sein muss, also in Wirklichkeit die Lösung nicht rational (= ein Bruch), sondern eine irrationale Zahl (=nicht als Bruch darstellbar) sein muss.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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