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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Infty |
| Aufgabe | Sei [mm] $X,||\cdot||) [/mm] ein normierter Raum. Zeigen Sie:
a) [mm] $\forall x,y\in [/mm] X [mm] :\quad ||x-y||\geq |\:||x||-||y||\:|
[/mm]
b) [mm] $||\cdot||:(X,||\cdot||)\rightarrow (\mathbb{R},|\cdot|) [/mm] ist eine stetige Abbildung |
Hi!
Ich verstehe bei der a) nicht wie man drauf kommt. Laut Lösung soll das alles über die Dreiecksungleichung [mm] $||x+y||\leq [/mm] ||x||+||y||$ gehen
aber wie komme ich auf $||x-y||$?
Bräuchte dringend einen Tipp!
Schonmal vielen vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Sa 16.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]$X,||\cdot||)[/mm] ein normierter Raum. Zeigen Sie:
> a) [mm]$\forall x,y\in[/mm] X [mm]:\quad ||x-y||\geq |\:||x||-||y||\:|[/mm]
>
> b) [mm]$||\cdot||:(X,||\cdot||)\rightarrow (\mathbb{R},|\cdot|)[/mm]
> ist eine stetige Abbildung
> Hi!
>
> Ich verstehe bei der a) nicht wie man drauf kommt. Laut
> Lösung soll das alles über die Dreiecksungleichung
> [mm]||x+y||\leq ||x||+||y||[/mm] gehen
> aber wie komme ich auf [mm]||x-y||[/mm]?
>
> Bräuchte dringend einen Tipp!
Tipp: Die Dreiecksungleichung sagt
[mm] \|x-y\|+\|y\| \ge \|x\| [/mm]
und
[mm] \|y-x\|+\|x\| \ge \|y\| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Infty |
Ok. Das darf ich mir ja herleiten im dem ich
[mm] $||a+b||\leq||a||+||b|| [/mm] nehme und a und b so wähle dass die passende Form rauskommt.
Stimmt dann die folgende Erklärung?
Aus $||x|| [mm] \leq [/mm] ||x-y|| + ||y||$
und $||y|| [mm] \leq [/mm] ||x-y|| + ||x||$
folgt ja direkt:
$||x||-||y|| [mm] \leq [/mm] ||x-y||$
und
$||y||-||x|| [mm] \leq [/mm] ||x-y||$
Was sich dann zusammenfassen lässt zu
$| ||x||-||y|| [mm] \leq [/mm] ||x-y||$
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Sa 16.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Das darf ich mir ja herleiten im dem ich
> [mm]$||a+b||\leq||a||+||b||[/mm] nehme und a und b so wähle dass
> die passende Form rauskommt.
>
> Stimmt dann die folgende Erklärung?
> Aus [mm]||x|| \leq ||x-y|| + ||y||[/mm]
> und [mm]||y|| \leq ||x-y|| + ||x||[/mm]
>
> folgt ja direkt:
> [mm]||x||-||y|| \leq ||x-y||[/mm]
> und
> [mm]||y||-||x|| \leq ||x-y||[/mm]
>
> Was sich dann zusammenfassen lässt zu
> [mm]| ||x||-||y|| \leq ||x-y||[/mm]
>
> Richtig?
Ja, aber zeigen mußt Du noch
$ ||x|| [mm] \leq [/mm] ||x-y|| + ||y|| $
Tipp:
||x|| =||x-y+y||
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Infty |
Verstehe ich nicht.
Das folgt doch direkt aus der Dreiecksungleichung oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 So 17.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Verstehe ich nicht.
> Das folgt doch direkt aus der Dreiecksungleichung oder
> nicht?
Ja, aber hinschreiben solltest Du es dennoch.
FRED
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