Martingal nachrechnen < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Fr 18.11.2011 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei [mm] $(X_t)_{t\in I}$ [/mm] Poisson-Prozess mit Intensität [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $F_t=\sigma (X_s [/mm] : [mm] s\le [/mm] t), dann ist
[mm] $\left(X_t^4-\lambda \int_0^t (4X_r^3+6X_r^2+4X_r+1) dr \right)_{t\in I}$
[/mm]
ein Martingal. |
zu zeigen ist also [mm] $E\left[ X_t^4-X_s^4-\lambda \int_s^t (4X_r^3+6X_r^2+4X_r+1) dr | F_s \right]=0$
[/mm]
das integral auszurechnen kriege ich mit viel rumgerechne hin. mein hauptproblem ist [mm] $E\left[ X_t^4-X_s^4| F_s\right]$ [/mm] auszurechnen.
dazu müsste ich ja [mm] $X_t^4-X_s^4$ [/mm] in eine summe mit elementen der form $a [mm] (X_t-X_s)^n X_s^m$ [/mm] zerlegen was mir nicht gelingen will. die bedingte erwartung von elementen anderer form kann ich ja nicht ausrechnen, oder?
meine frage ist also: gibt es einen einfacheren weg als sich so eine zerlegung zu suchen? und falls nein, wie finde ich die zerlegung?
danke für antworten :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Sa 19.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
was kommt denn beim Integral rau? Ich hab vielleicht ne Idee, müsste dazu aber das Ergebnis des Integrals kennen und wenn Du es bereits berechnet hast ...
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Sa 19.11.2011 | | Autor: | clee |
ein ziemlicher quatsch kommt da raus, falls meine rechnung stimmt:
[mm] $E\left[\lambda \int_s^t (4X_r^3+6X_r^2+4X_r+1) dr | F_s \right]$
[/mm]
[mm] $=\lambda [/mm] (t-s) [mm] (4X_s^3+6X_s^2+4X_s) [/mm] + [mm] \lambda^2 (t-s)^2 (\frac{23}{2} [/mm] + [mm] 3X_s^2) [/mm] - [mm] 2\lambda^3 (t-s)^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{4}\lambda^4 (t-s)^4$
[/mm]
außerdem gilt:
[mm] $E\left[X_t-X_s\right]=\lambda [/mm] (t-s)$
[mm] $E\left[(X_t-X_s)^2\right]=\lambda^2 (t-s)^2+\lambda [/mm] (t-s)$
[mm] $E\left[(X_t-X_s)^3\right]=\lambda^3 (t-s)^3+3 \lambda^2 (t-s)^2+\lambda [/mm] (t-s)$
[mm] $E\left[(X_t-X_s)^4\right]=\lambda^4 (t-s)^4+6 \lambda^3 (t-s)^3+7\lambda^2 (t-s)^2+\lambda [/mm] (t-s)$
bin dankbar für jeden tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 19.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
bitte beschreibe doch mer verbal, oder andeutungsweise (in Kurzform) wie du darauf kommst.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Sa 19.11.2011 | | Autor: | clee |
also:
[mm] $E\left[\lambda \int_s^t (4X_r^3+6X_r^2+4X_r+1) dr | F_s \right]$
[/mm]
[mm] $=\lambda E\left[ 4\int_s^t (X_r^3-X_s^3) dr +6 \int_s^t (X_r^2-X_s^2) dr + 4\int_s^t (X_r-X_s) dr+(t-s) + \int_s^t4X_s^3+6X_s^2+4X_s dr | F_s \right]$
[/mm]
den erwartungswert darf ich nach irgendeinem satz unters integral ziehen:
[mm] $=\lambda \left( 4\int_s^t E\left[(X_r^3-X_s^3)| F_s \right] dr +6 \int_s^t E\left[(X_r^2-X_s^2)| F_s \right] dr + 4\int_s^t E\left[(X_r-X_s)| F_s \right] dr+(t-s) + \int_s^t E\left[4X_s^3+6X_s^2+4X_s| F_s \right] dr \right)
[/mm]
unter dem letzten intrgral kann ich den erwartungswert weglassen, da [mm] $X_s$ $F_s$-messbar [/mm] ist.
die ersten 3 erwartungswerte zerlege ich in elemente der form $a [mm] (X_r-X_s)^m X_s^n$ [/mm] ... z.b [mm] $X_r^2-X_s^2=(X_r-X_s)^2+2(X_t-X_s)X_s$. [/mm] dann kann ich jeweils [mm] X_s^n [/mm] aus dem erwartungswert rausziehen und [mm] $E\left[(X_r-X_s)^m| F_s \right]=E\left[(X_r-X_s)^m \right]$ [/mm] ausrechnen. danach ist es dann nur noch integrale ausrechnen.
[mm] $=\lambda [/mm] (t-s) [mm] (4X_s^3+6X_s^2+4X_s) [/mm] + [mm] \lambda^2 (t-s)^2 (\frac{23}{2} [/mm] + [mm] 3X_s^2) [/mm] - [mm] 2\lambda^3 (t-s)^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{4}\lambda^4 (t-s)^4$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 19.11.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also wenn ich mich jetzt nicht voll verhauen hab, dann:
[mm](X_t^4 - X_s^4)= (X_t - X_s)^4+2(X_t - X_s)^3+4(X_t - X_s)^2X_s^2+2(X_t - X_s)^2X_s^2+4(X_t - X_s)X_s^3[/mm]
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Sa 19.11.2011 | | Autor: | clee |
danke dir für die unterstützung
habs jetzt hinbekommen :)
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