Log einer neg. reellen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 07.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Wie läßt sich der Logarithmus einer negativen reellen Zahl berechnen. |
Hallo,
dies ist ein Teil einer Hausaufgabe. Ich wollte gerne mal wissen, ob meine Lösungweg richtig ist.
Gegeben: eine negative reelle Zahl $x [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm]x < 0[/mm].
Darstellung dieser Zahl im Komplexen:
[mm] x = |x|*e^{i\pi}[/mm]
[mm]\gdw log(x) = log(|x|*exp(i\pi)) [/mm]
[mm]= log(|x|) + log(exp(i\pi)) = log(|x|) + i\pi[/mm]
thx
Barney
Nachtrag, mit Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion gemeint. Also $y = log(z) [mm] \gdw [/mm] z = exp(y)$
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Hallo BarneyS,
> Wie läßt sich der Logarithmus einer negativen reellen
> Zahl berechnen.
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> Hallo,
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> dies ist ein Teil einer Hausaufgabe. Ich wollte gerne mal
> wissen, ob meine Lösungweg richtig ist.
>
> Gegeben: eine negative reelle Zahl [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]x < 0[/mm].
>
> Darstellung dieser Zahl im Komplexen:
>
> [mm]x = |x|*e^{i\pi}[/mm]
>
> [mm]\gdw log(x) = log(|x|*exp(i\pi))[/mm]
>
> [mm]= log(|x|) + log(exp(i\pi)) = log(|x|) + i\pi[/mm]
Ja, das ist der Hauptwert. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> thx
> Barney
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> Nachtrag, mit Logarithmus ist die Umkehrfunktion der
> Exponentialfunktion gemeint. Also [mm]y = log(z) \gdw z = exp(y)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 07.12.2010 | | Autor: | BarneyS |
Danke....
wir haben vorher schon gezeigt, dass es eine Periodizität gibt.
Kann man dann sagen:
[mm] log(x) = log(|x|) + i\pi + 2k\pi i = log(|x|) + i\pi(2k+1)[/mm] ?
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Hallo BarneyS,
> Danke....
>
> wir haben vorher schon gezeigt, dass es eine Periodizität
> gibt.
>
> Kann man dann sagen:
>
> [mm]log(x) = log(|x|) + i\pi + 2k\pi i = log(|x|) + i\pi(2k+1)[/mm]
> ?
Ja, für [mm]k \in \IZ[/mm].
Gruss
MathePower
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