Lineare Abhängigkeit in R[x] < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 07.12.2012 | | Autor: | qetu |
| Aufgabe | Es sei $ n [mm] \in \IN$, [/mm] $a [mm] \in \IR$. [/mm] Wie betrachten den reelen Vektorraum [mm] $\IR[x]$. [/mm] Sind die folgende Polynome linear abhängig?
$1, (x-a), [mm] \frac{1}{2}(x-a)^2, [/mm] ... [mm] \frac{1}{n!}(x-a)^n [/mm] $ |
Hallo liebe Freunde der Mathematik,
die Aufgabe kommt mir (zu) offensichtlich vor, sodass ich lieber mal nachfrage:
Wenn ich eine Linearkombination dieser Polynome bilde um damit das Nullpolynom darzustellen, dann kann ich das Polynom mit Grad n durch keine der anderen Polynome ausdrücken. Ich muss also das Skalar 0 für dieses Polynom wählen.
Dann erhalte ich ein Polynom vom Grad n-1. Wiederum kann ich dieses durch kein anderes Polynom darstellen -> entsprechendes Skalar = 0, usw. usf.
Also sind die Polynome linear unabhängig.
Stimmt meine Überlegung oder bin ich auf der falschen Spur???
Bringt es mir für die Argumentation irgendetwas, dass das linke Polynom immer die Ableitung des rechts danebenstehenden Polynoms ist (also $1$ ist Ableitung von $x-a$, $x-a$ ist Ableitung von $1/2 [mm] (x-a)^2$ [/mm] usw).
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 07.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, was du machst ist eine Induktion von oben nach unten, vielleicht ist es besser von unten anzufangen.
das andere argument ist, dass ein Polynom n ten Grades höchstens n nullstellen hat,die summe p aber für alle x 0 sein muss. d.h. es gibt keine Linearkombination ausser der trivialen, die die 0 erzeugt.
gruss leduart
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